Номер 68, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна $243 \text{ см}^2$, а точка $M$ делит её высоту в отношении $4:5$, считая от вершины пирамиды.

68. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 243 см$^2$, а точка $M$ делит её высоту в отношении $4:5$, считая от вершины пирамиды.

Решение

Плоскость, проведенная параллельно основанию пирамиды, отсекает от нее меньшую пирамиду, подобную исходной. Обозначим площадь основания исходной пирамиды как $S_1$, а площадь сечения (меньшего основания усеченной пирамиды) как $S_2$. Высоту исходной пирамиды обозначим как $H$, а высоту отсеченной (меньшей) пирамиды как $h$.

Согласно свойству подобных тел, отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их соответственных линейных размеров, в данном случае — высот:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h}{H})^2$

По условию задачи, точка $M$ делит высоту исходной пирамиды $H$ в отношении $4:5$, считая от вершины. Это означает, что высота отсеченной пирамиды $h$ составляет 4 части, а оставшаяся часть высоты (высота самой усеченной пирамиды) составляет 5 частей. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $4 + 5 = 9$ частей.

Найдем отношение высоты малой пирамиды $h$ к высоте всей пирамиды $H$:

$\frac{h}{H} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$

Теперь мы можем найти площадь меньшего основания $S_2$, зная площадь большего основания $S_1 = 243$ см²:

$S_2 = S_1 \cdot (\frac{h}{H})^2 = 243 \cdot (\frac{4}{9})^2 = 243 \cdot \frac{16}{81}$

Выполним вычисления:

$S_2 = \frac{243}{81} \cdot 16 = 3 \cdot 16 = 48$ см²

Ответ: 48 см²