Номер 61, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $A (2; 3; -7)$, $B (4; 5; -1)$ и $C (0; 1; 11)$ на одной прямой.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $A (2; 3; -7)$, $B (4; 5; -1)$ и $C (0; 1; 11)$ на одной прямой.

Для того чтобы определить, лежат ли три точки A, B и C на одной прямой, необходимо проверить, являются ли векторы, образованные этими точками, коллинеарными. Если точки лежат на одной прямой, то векторы, построенные на этих точках (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), будут параллельны (коллинеарны).

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, для векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ должно выполняться условие $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или, что то же самое, $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$, где $k$ – коэффициент пропорциональности.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Даны точки: A(2; 3; -7), B(4; 5; -1) и C(0; 1; 11).

Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{4 - 2; 5 - 3; -1 - (-7)\} = \{2; 2; 6\}$

Координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{0 - 2; 1 - 3; 11 - (-7)\} = \{-2; -2; 18\}$

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для этого составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{z_{AC}}{z_{AB}} = \frac{18}{6} = 3$

Так как отношения координат не равны между собой ($-1 \neq 3$), то координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не являются коллинеарными.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящие из одной точки A, не коллинеарны, точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: Точки A, B и C не лежат на одной прямой.