Номер 60, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (2; -3; 1),$ $B (-4; 2; 3),$ $C (6; 1; -4)$ и $D (22; -5; -13)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (2; -3; 1)$, $B (-4; 2; 3)$, $C (6; 1; -4)$ и $D (22; -5; -13)$ является трапецией.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо найти векторы, соответствующие его сторонам, и проверить их на коллинеарность. Две стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны (то есть их координаты пропорциональны).

Даны вершины четырёхугольника: $A(2; -3; 1)$, $B(-4; 2; 3)$, $C(6; 1; -4)$ и $D(22; -5; -13)$.

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора, идущего из точки $X(x_1, y_1, z_1)$ в точку $Y(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

$\vec{AB} = (-4 - 2; 2 - (-3); 3 - 1) = (-6; 5; 2)$

$\vec{BC} = (6 - (-4); 1 - 2; -4 - 3) = (10; -1; -7)$

$\vec{CD} = (22 - 6; -5 - 1; -13 - (-4)) = (16; -6; -9)$

$\vec{AD} = (22 - 2; -5 - (-3); -13 - 1) = (20; -2; -14)$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам: $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, а также $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

1. Проверим пару векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.
$\vec{BC} = (10; -1; -7)$
$\vec{AD} = (20; -2; -14)$
Найдём отношения их соответствующих координат:
$\frac{20}{10} = 2$
$\frac{-2}{-1} = 2$
$\frac{-14}{-7} = 2$
Поскольку отношения всех соответствующих координат равны, векторы коллинеарны, причём $\vec{AD} = 2\vec{BC}$. Это означает, что стороны BC и AD параллельны.

2. Проверим пару векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
$\vec{AB} = (-6; 5; 2)$
$\vec{CD} = (16; -6; -9)$
Найдём отношения их соответствующих координат:
$\frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}$
$\frac{-6}{5}$
Так как $\frac{16}{-6} \neq \frac{-6}{5}$, координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а стороны AB и CD не параллельны.

Так как в четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон (BC и AD) параллельна, а другая пара (AB и CD) не параллельна, то этот четырёхугольник является трапецией.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и AD параллельны (векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны), а стороны AB и CD не параллельны (векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны), что соответствует определению трапеции.