Номер 64, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Умножение вектора на число. Гомотетия. Вариант 1. Упражнения - номер 64, страница 10.

Условие 2020.

64. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 1 : 5$. Выразите вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Условие 2023.

64. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 1 : 5$. Выразите вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Решение.

Решение 2 (2023).

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, представим вектор $\vec{AF}$ как разность векторов, выходящих из одной точки. В качестве такой точки удобно выбрать вершину D, так как все заданные векторы исходят из нее.

По правилу вычитания векторов:

$\vec{AF} = \vec{DF} - \vec{DA}$

Теперь найдем выражение для вектора $\vec{DF}$. Точка F принадлежит ребру BC и, согласно условию, делит его в отношении $BF : FC = 1 : 5$. Это означает, что вектор $\vec{DF}$ можно выразить через векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ с помощью формулы деления отрезка в данном отношении:

$\vec{DF} = \frac{5 \cdot \vec{DB} + 1 \cdot \vec{DC}}{1+5}$

Выполним вычисления:

$\vec{DF} = \frac{5\vec{DB} + \vec{DC}}{6} = \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$

Подставим полученное выражение для вектора $\vec{DF}$ в исходное равенство для $\vec{AF}$:

$\vec{AF} = \left( \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC} \right) - \vec{DA}$

Переставив слагаемые, получим окончательное выражение:

$\vec{AF} = -\vec{DA} + \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$

Ответ: $\vec{AF} = -\vec{DA} + \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$