Номер 71, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 30°, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.Найдите скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$.

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
Найдите скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(2\vec{a}+\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$ воспользуемся свойствами скалярного произведения, в частности, его дистрибутивностью (распределительным законом). Раскроем скобки так же, как при умножении многочленов:

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) - (2\vec{b}) \cdot \vec{b}$

Теперь упростим каждый член выражения:

$\vec{a} \cdot (2\vec{a}) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2$

$-(2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) = -4(\vec{b} \cdot \vec{a})$

$-(2\vec{b}) \cdot \vec{b} = -2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{b}|^2$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$, объединим подобные слагаемые:

$2|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

Далее вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Из условия задачи нам известно, что $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$ и $\alpha = 30^{\circ}$. Значение косинуса $30^{\circ}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в полученное выражение:

$2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 2(1)^2 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2(1)^2 = 2 \cdot 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot 1 = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$