Номер 74, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BD}$ и $\vec{B_1D_1}$;

2) $\vec{CD}$ и $\vec{AA_1}$;

3) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1A_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скаляр-ное произведение векторов:

1) $\vec{BD}$ и $\vec{B_1D_1}$;

2) $\vec{CD}$ и $\vec{AA_1}$;

3) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1A_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина A куба совпадает с началом координат, а ребра AD, AB и AA₁ лежат на осях Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда ребро куба равно $a$, а координаты вершин будут следующими: A(0, 0, 0), B(0, a, 0), C(a, a, 0), D(a, 0, 0), A₁(0, 0, a), B₁(0, a, a), C₁(a, a, a), D₁(a, 0, a).

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{u}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\overrightarrow{v}\{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:B(0, a, 0), D(a, 0, 0) и B₁(0, a, a), D₁(a, 0, a).
$\overrightarrow{BD} = \{x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B\} = \{a - 0; 0 - a; 0 - 0\} = \{a; -a; 0\}$.
$\overrightarrow{B_1D_1} = \{x_{D_1} - x_{B_1}; y_{D_1} - y_{B_1}; z_{D_1} - z_{B_1}\} = \{a - 0; 0 - a; a - a\} = \{a; -a; 0\}$.
Теперь вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{B_1D_1} = a \cdot a + (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = a^2 + a^2 + 0 = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:C(a, a, 0), D(a, 0, 0) и A(0, 0, 0), A₁(0, 0, a).
$\overrightarrow{CD} = \{x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C\} = \{a - a; 0 - a; 0 - 0\} = \{0; -a; 0\}$.
$\overrightarrow{AA_1} = \{x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A\} = \{0 - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{0; 0; a\}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AA_1} = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a = 0 + 0 + 0 = 0$.
(Это также следует из того, что ребра CD и AA₁ перпендикулярны, так как CD перпендикулярно грани AA₁D₁D, в которой лежит AA₁).

Ответ: $0$

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:A(0, 0, 0), C(a, a, 0) и B₁(0, a, a), A₁(0, 0, a).
$\overrightarrow{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{a - 0; a - 0; 0 - 0\} = \{a; a; 0\}$.
$\overrightarrow{B_1A_1} = \{x_{A_1} - x_{B_1}; y_{A_1} - y_{B_1}; z_{A_1} - z_{B_1}\} = \{0 - 0; 0 - a; a - a\} = \{0; -a; 0\}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B_1A_1} = a \cdot 0 + a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = 0 - a^2 + 0 = -a^2$.

Ответ: $-a^2$