Номер 81, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Найдите угол между векторами $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $, если $ A (1; -3; 4) $, $ B (2; -2; 5) $, $ C (3; 1; 3) $.

81. Найдите угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, если A (1; -3; 4), B (2; -2; 5), C (3; 1; 3).

Для того чтобы найти угол между векторами, воспользуемся формулой, связывающей косинус угла между векторами с их скалярным произведением и их длинами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\alpha$ — искомый угол.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начала из координат конца.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(1; -3; 4)$ и концом в точке $B(2; -2; 5)$:

$\vec{AB} = \{2 - 1; -2 - (-3); 5 - 4\} = \{1; 1; 1\}$.

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке $B(2; -2; 5)$ и концом в точке $C(3; 1; 3)$:

$\vec{BC} = \{3 - 2; 1 - (-2); 3 - 5\} = \{1; 3; -2\}$.

2. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 1 + 3 - 2 = 2$.

3. Найдем длины (модули) векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Длина вектора $\vec{a} = \{x; y; z\}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

4. Найдем косинус угла между векторами

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$.

5. Найдем угол

Угол $\alpha$ равен арккосинусу полученного значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.