Номер 86, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Даны векторы $\vec{a}$ (-2; 3; 1) и $\vec{b}$ (1; 4; -3). Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $\vec{a} (-2; 3; 1)$ и $\vec{b} (1; 4; -3)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

По условию даны векторы $\vec{a}(-2; 3; 1)$ и $\vec{b}(1; 4; -3)$.

Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, чтобы векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

Для начала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $k$:

$k\vec{b} = k(1; 4; -3) = (1 \cdot k; 4 \cdot k; -3 \cdot k) = (k; 4k; -3k)$

2. Сложим векторы $\vec{a}$ и $k\vec{b}$:

$\vec{a} + k\vec{b} = (-2; 3; 1) + (k; 4k; -3k) = (-2 + k; 3 + 4k; 1 - 3k)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем найти их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = (-2 + k) \cdot 1 + (3 + 4k) \cdot 4 + (1 - 3k) \cdot (-3)$

Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $k$:

$(-2 + k) + 4(3 + 4k) - 3(1 - 3k) = 0$

$-2 + k + 12 + 16k - 3 + 9k = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $k$, и свободные члены:

$(k + 16k + 9k) + (-2 + 12 - 3) = 0$

$26k + 7 = 0$

Теперь решим это линейное уравнение:

$26k = -7$

$k = -\frac{7}{26}$

Ответ: $k = -\frac{7}{26}$