Номер 88, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Точка A принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 9 см. Найдите расстояние от точки A до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $120^\circ$.

88. Точка А принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 9 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $120^\circ$.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$ (ребро угла). Величина этого угла равна $120^\circ$.

Точка $A$ принадлежит биссекторной плоскости $\gamma$ этого угла. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. По условию, расстояние от точки $A$ до граней $\alpha$ и $\beta$ равно 9 см. Пусть $AB$ — перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\alpha$, тогда $AB = 9$ см и $AB \perp \alpha$.

Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до ребра $l$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $AO$, где $AO \perp l$.

Рассмотрим отрезок $AO$ как наклонную к плоскости $\alpha$. Тогда отрезок $BO$ является проекцией наклонной $AO$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AO$) перпендикулярна прямой ($l$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($BO$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BO \perp l$.

Так как $AB \perp \alpha$, то отрезок $AB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Значит, $AB \perp BO$. Таким образом, треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

Угол между двумя плоскостями измеряется величиной его линейного угла, который образуется двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях из одной точки. В нашем случае, угол между биссекторной плоскостью $\gamma$ и гранью $\alpha$ (линия пересечения — ребро $l$) измеряется углом между отрезками $AO$ (лежащим в $\gamma$ и $AO \perp l$) и $BO$ (лежащим в $\alpha$ и $BO \perp l$). То есть, это угол $\angle AOB$.

Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам. Так как величина всего двугранного угла равна $120^\circ$, то угол между биссекторной плоскостью и каждой из граней равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$. В нем известны:

• катет $AB = 9$ см (расстояние от точки $A$ до грани $\alpha$);
• угол $\angle AOB = 60^\circ$, противолежащий катету $AB$;
• гипотенуза $AO$ — искомое расстояние.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle AOB) = \frac{AB}{AO}$

Подставим известные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{9}{AO}$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{AO}$

Отсюда находим $AO$: $AO = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.