Номер 84, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки $A(1; 0; -1)$, $B(-1; -2; 0)$ и $C(2; -1; 1)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки $A (1; 0; -1)$, $B (-1; -2; 0)$ и $C (2; -1; 1)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

По условию задачи точка D лежит на оси y. Это означает, что её координаты по осям x и z равны нулю. Таким образом, координаты точки D можно записать как $D(0; y; 0)$, где y — неизвестная величина, которую нам предстоит найти.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$
Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(1; 0; -1) и концом в точке B(-1; -2; 0) имеем:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 1; -2 - 0; 0 - (-1)) = (-2; -2; 1)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$
Аналогично, для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке C(2; -1; 1) и концом в точке D(0; y; 0):
$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (0 - 2; y - (-1); 0 - 1) = (-2; y + 1; -1)$.

3. Используем условие перпендикулярности векторов
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.
Применим это условие к векторам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$
$(-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (y + 1) + 1 \cdot (-1) = 0$

4. Решим полученное уравнение
$4 - 2(y + 1) - 1 = 0$
$4 - 2y - 2 - 1 = 0$
$1 - 2y = 0$
$2y = 1$
$y = 0.5$

Таким образом, мы нашли ординату точки D. Координаты точки D: $(0; 0.5; 0)$.

Ответ: $D(0; 0.5; 0)$