Номер 82, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Даны векторы $\vec{a} (2; 4; -3)$ и $\vec{b} (x; 1; 6)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (2; 4; -3)$ и $\vec{b} (x; 1; 6)$. При каких значениях x угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}(2; 4; -3)$ и $\vec{b}(x; 1; 6)$ определяется знаком их скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Это следует из определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$. Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ положительны, знак произведения зависит только от знака $\cos(\alpha)$.

- Если угол острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то $\cos(\alpha) > 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
- Если угол прямой ($\alpha = 90^\circ$), то $\cos(\alpha) = 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
- Если угол тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то $\cos(\alpha) < 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Сначала вычислим скалярное произведение данных векторов через их координаты:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 6 = 2x + 4 - 18 = 2x - 14$.
Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) острый;
Угол между векторами будет острым, если их скалярное произведение положительно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$2x - 14 > 0$
$2x > 14$
$x > 7$
Ответ: при $x > 7$.

2) прямой;
Угол между векторами будет прямым, если их скалярное произведение равно нулю.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$2x - 14 = 0$
$2x = 14$
$x = 7$
Ответ: при $x = 7$.

3) тупой?
Угол между векторами будет тупым, если их скалярное произведение отрицательно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$2x - 14 < 0$
$2x < 14$
$x < 7$
Ответ: при $x < 7$.