Номер 87, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Даны точки $A (1; 5; 8)$, $B (5; 2; 9)$, $C (7; 4; 7)$ и $D (8; 3; 0)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

87. Даны точки $A (1; 5; 8)$, $B (5; 2; 9)$, $C (7; 4; 7)$ и $D (8; 3; 0)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Для того чтобы доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, необходимо показать, что направляющий вектор прямой AB, то есть вектор $\vec{AB}$, перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости BCD. В качестве таких векторов возьмем векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

1. Найдем координаты векторов, используя координаты заданных точек: A(1; 5; 8), B(5; 2; 9), C(7; 4; 7) и D(8; 3; 0). Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{AB}$: $(5 - 1; 2 - 5; 9 - 8) = (4; -3; 1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$: $(7 - 5; 4 - 2; 7 - 9) = (2; 2; -2)$.

Координаты вектора $\vec{BD}$: $(8 - 5; 3 - 2; 0 - 9) = (3; 1; -9)$.

2. Проверим, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Сравним отношения координат векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:

$\frac{2}{3} \neq \frac{2}{1}$

Поскольку отношения координат не равны, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, а значит, они определяют плоскость BCD.

3. Докажем перпендикулярность прямой AB плоскости BCD, проверив перпендикулярность вектора $\vec{AB}$ к векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 8 - 6 - 2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB} \perp \vec{BC}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 4 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-9) = 12 - 3 - 9 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB} \perp \vec{BD}$.

Поскольку вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$, лежащим в плоскости BCD, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.

Ответ: Что и требовалось доказать.