Номер 83, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; -2; -1)$, $B (-4; -3; -4)$, $C (-1; -9; -5)$ и $D (2; -8; -2)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (-1; -2; -1), B (-4; -3; -4), C (-1; -9; -5) и D (2; -8; -2) является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо с помощью векторов установить два факта: во-первых, что ABCD является параллелограммом, и, во-вторых, что у этого параллелограмма есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD - параллелограмм

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы, представляющие его противоположные стороны, равны. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника, по координатам его вершин: A(-1; -2; -1), B(-4; -3; -4), C(-1; -9; -5) и D(2; -8; -2).

Координаты вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $Y(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (-4 - (-1); -3 - (-2); -4 - (-1)) = (-3; -1; -3)$

$\vec{DC} = (-1 - 2; -9 - (-8); -5 - (-2)) = (-3; -1; -3)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$), это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Доказательство наличия прямого угла

Параллелограмм является прямоугольником, если его смежные стороны перпендикулярны. Векторы, соответствующие этим сторонам, также должны быть перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для смежных сторон AB и AD.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (2 - (-1); -8 - (-2); -2 - (-1)) = (3; -6; -1)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (-3) \cdot 3 + (-1) \cdot (-6) + (-3) \cdot (-1)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = -9 + 6 + 3 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между сторонами AB и AD, то есть $\angle A$, является прямым.

Таким образом, мы доказали, что ABCD - это параллелограмм, у которого есть прямой угол. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.