Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки $A(1; 0; -1)$, $B(-1; -2; 0)$ и $C(2; -1; 1)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки $A (1; 0; -1)$, $B (-1; -2; 0)$ и $C (2; -1; 1)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

По условию задачи точка D лежит на оси y. Это означает, что её координаты по осям x и z равны нулю. Таким образом, координаты точки D можно записать как $D(0; y; 0)$, где y — неизвестная величина, которую нам предстоит найти.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$
Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(1; 0; -1) и концом в точке B(-1; -2; 0) имеем:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 1; -2 - 0; 0 - (-1)) = (-2; -2; 1)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$
Аналогично, для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке C(2; -1; 1) и концом в точке D(0; y; 0):
$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (0 - 2; y - (-1); 0 - 1) = (-2; y + 1; -1)$.

3. Используем условие перпендикулярности векторов
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.
Применим это условие к векторам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$
$(-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (y + 1) + 1 \cdot (-1) = 0$

4. Решим полученное уравнение
$4 - 2(y + 1) - 1 = 0$
$4 - 2y - 2 - 1 = 0$
$1 - 2y = 0$
$2y = 1$
$y = 0.5$

Таким образом, мы нашли ординату точки D. Координаты точки D: $(0; 0.5; 0)$.

Ответ: $D(0; 0.5; 0)$

85. Найдите координаты вектора $\vec{n}$, коллинеарного вектору $\vec{k} (5; -3; 4)$, если $\vec{n} \cdot \vec{k} = -100$.

85. Найдите координаты вектора $ \vec{n} $, коллинеарного вектору $ \vec{k} (5; -3; 4)$, если $ \vec{n} \cdot \vec{k} = -100$.

Поскольку векторы $\vec{n}$ и $\vec{k}$ коллинеарны, это означает, что один вектор можно выразить через другой, умножив его на некоторое число (скаляр). Обозначим этот скаляр как $\lambda$. Таким образом, можно записать:

$\vec{n} = \lambda \vec{k}$

Нам известны координаты вектора $\vec{k}(5; -3; 4)$. Используя это, найдем выражение для координат вектора $\vec{n}$:

$\vec{n} = (\lambda \cdot 5; \lambda \cdot (-3); \lambda \cdot 4) = (5\lambda; -3\lambda; 4\lambda)$

По условию задачи, скалярное произведение этих векторов равно -100:

$\vec{n} \cdot \vec{k} = -100$

Скалярное произведение векторов в координатах вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Подставим выражения для координат $\vec{n}$ и $\vec{k}$ в формулу скалярного произведения:

$(5\lambda) \cdot 5 + (-3\lambda) \cdot (-3) + (4\lambda) \cdot 4 = -100$

Решим полученное уравнение относительно $\lambda$:

$25\lambda + 9\lambda + 16\lambda = -100$

$50\lambda = -100$

$\lambda = \frac{-100}{50}$

$\lambda = -2$

Теперь, зная значение $\lambda$, мы можем вычислить координаты вектора $\vec{n}$:

$\vec{n} = (5 \cdot (-2); -3 \cdot (-2); 4 \cdot (-2))$

$\vec{n} = (-10; 6; -8)$

Ответ: $(-10; 6; -8)$

86. Даны векторы $\vec{a}$ (-2; 3; 1) и $\vec{b}$ (1; 4; -3). Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $\vec{a} (-2; 3; 1)$ и $\vec{b} (1; 4; -3)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

По условию даны векторы $\vec{a}(-2; 3; 1)$ и $\vec{b}(1; 4; -3)$.

Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, чтобы векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

Для начала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $k$:

$k\vec{b} = k(1; 4; -3) = (1 \cdot k; 4 \cdot k; -3 \cdot k) = (k; 4k; -3k)$

2. Сложим векторы $\vec{a}$ и $k\vec{b}$:

$\vec{a} + k\vec{b} = (-2; 3; 1) + (k; 4k; -3k) = (-2 + k; 3 + 4k; 1 - 3k)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем найти их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = (-2 + k) \cdot 1 + (3 + 4k) \cdot 4 + (1 - 3k) \cdot (-3)$

Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $k$:

$(-2 + k) + 4(3 + 4k) - 3(1 - 3k) = 0$

$-2 + k + 12 + 16k - 3 + 9k = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $k$, и свободные члены:

$(k + 16k + 9k) + (-2 + 12 - 3) = 0$

$26k + 7 = 0$

Теперь решим это линейное уравнение:

$26k = -7$

$k = -\frac{7}{26}$

Ответ: $k = -\frac{7}{26}$

87. Даны точки $A (1; 5; 8)$, $B (5; 2; 9)$, $C (7; 4; 7)$ и $D (8; 3; 0)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

87. Даны точки $A (1; 5; 8)$, $B (5; 2; 9)$, $C (7; 4; 7)$ и $D (8; 3; 0)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Для того чтобы доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, необходимо показать, что направляющий вектор прямой AB, то есть вектор $\vec{AB}$, перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости BCD. В качестве таких векторов возьмем векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

1. Найдем координаты векторов, используя координаты заданных точек: A(1; 5; 8), B(5; 2; 9), C(7; 4; 7) и D(8; 3; 0). Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{AB}$: $(5 - 1; 2 - 5; 9 - 8) = (4; -3; 1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$: $(7 - 5; 4 - 2; 7 - 9) = (2; 2; -2)$.

Координаты вектора $\vec{BD}$: $(8 - 5; 3 - 2; 0 - 9) = (3; 1; -9)$.

2. Проверим, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Сравним отношения координат векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:

$\frac{2}{3} \neq \frac{2}{1}$

Поскольку отношения координат не равны, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, а значит, они определяют плоскость BCD.

3. Докажем перпендикулярность прямой AB плоскости BCD, проверив перпендикулярность вектора $\vec{AB}$ к векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 8 - 6 - 2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB} \perp \vec{BC}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 4 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-9) = 12 - 3 - 9 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AB} \perp \vec{BD}$.

Поскольку вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$, лежащим в плоскости BCD, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.

Ответ: Что и требовалось доказать.

88. Точка A принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 9 см. Найдите расстояние от точки A до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $120^\circ$.

88. Точка А принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 9 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $120^\circ$.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$ (ребро угла). Величина этого угла равна $120^\circ$.

Точка $A$ принадлежит биссекторной плоскости $\gamma$ этого угла. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. По условию, расстояние от точки $A$ до граней $\alpha$ и $\beta$ равно 9 см. Пусть $AB$ — перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\alpha$, тогда $AB = 9$ см и $AB \perp \alpha$.

Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до ребра $l$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $AO$, где $AO \perp l$.

Рассмотрим отрезок $AO$ как наклонную к плоскости $\alpha$. Тогда отрезок $BO$ является проекцией наклонной $AO$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AO$) перпендикулярна прямой ($l$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($BO$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BO \perp l$.

Так как $AB \perp \alpha$, то отрезок $AB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Значит, $AB \perp BO$. Таким образом, треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

Угол между двумя плоскостями измеряется величиной его линейного угла, который образуется двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях из одной точки. В нашем случае, угол между биссекторной плоскостью $\gamma$ и гранью $\alpha$ (линия пересечения — ребро $l$) измеряется углом между отрезками $AO$ (лежащим в $\gamma$ и $AO \perp l$) и $BO$ (лежащим в $\alpha$ и $BO \perp l$). То есть, это угол $\angle AOB$.

Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам. Так как величина всего двугранного угла равна $120^\circ$, то угол между биссекторной плоскостью и каждой из граней равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$. В нем известны:

• катет $AB = 9$ см (расстояние от точки $A$ до грани $\alpha$);
• угол $\angle AOB = 60^\circ$, противолежащий катету $AB$;
• гипотенуза $AO$ — искомое расстояние.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle AOB) = \frac{AB}{AO}$

Подставим известные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{9}{AO}$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{AO}$

Отсюда находим $AO$: $AO = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

89. При каком значении m точка A (2; m; -3) принадлежит плоскости $5x - 2y + 4z - 7 = 0$?

89. При каком значении $m$ точка $A(2; m; -3)$ принадлежит плоскости $5x - 2y + 4z - 7 = 0$?

Для того чтобы точка A(2; m; -3) принадлежала плоскости, её координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости.

Уравнение плоскости задано как $5x - 2y + 4z - 7 = 0$.

Координаты точки A: $x = 2$, $y = m$, $z = -3$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$5 \cdot (2) - 2 \cdot m + 4 \cdot (-3) - 7 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $m$.

Выполним умножение:

$10 - 2m - 12 - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые (числовые значения):

$10 - 12 - 7 = -2 - 7 = -9$

Уравнение принимает вид:

$-2m - 9 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-2m = 9$

Разделим обе части уравнения на -2, чтобы найти $m$:

$m = \frac{9}{-2}$

$m = -4.5$

Таким образом, точка А будет принадлежать плоскости при значении $m = -4.5$.

Ответ: -4.5

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (2; 3; -1)$ и перпендикулярной прямой $AB,$ если $A (2; -6; 4)$, $B (6; -3; 5)$.

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(2; 3; -1)$ и перпендикулярной прямой $AB$, если $A(2; -6; 4)$, $B(6; -3; 5)$.

Для составления уравнения плоскости необходимо знать координаты точки, принадлежащей этой плоскости, и координаты вектора нормали (вектора, перпендикулярного плоскости).

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(2; 3; -1)$.

Также известно, что плоскость перпендикулярна прямой AB. Это означает, что направляющий вектор прямой AB является вектором нормали $\vec{n}$ для искомой плоскости.

Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат конца (точки B) координаты начала (точки A):

$\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Подставим координаты точек $A(2; -6; 4)$ и $B(6; -3; 5)$:

$\vec{n} = (6 - 2; -3 - (-6); 5 - 4) = (4; 3; 1)$

Таким образом, вектор нормали к плоскости имеет координаты $\vec{n} = (A; B; C) = (4; 3; 1)$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим в это уравнение координаты точки $M(2; 3; -1)$ и координаты вектора нормали $\vec{n} = (4; 3; 1)$:

$4(x - 2) + 3(y - 3) + 1(z - (-1)) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 8 + 3y - 9 + z + 1 = 0$

$4x + 3y + z - 16 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $4x + 3y + z - 16 = 0$

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m} (-6; 3; 15)$.

91. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m} (-6; 3; 15).$

Уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n}(A, B, C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В условии задачи дано, что плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m}(-6; 3; 15)$. Это означает, что $\vec{m}$ является нормальным вектором для этой плоскости. Таким образом, мы можем принять его координаты в качестве коэффициентов $A, B$ и $C$ в уравнении плоскости:

$A = -6$, $B = 3$, $C = 15$.

Также известно, что плоскость проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $O(0; 0; 0)$. Следовательно:

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения плоскости:

$-6(x - 0) + 3(y - 0) + 15(z - 0) = 0$

После упрощения получаем:

$-6x + 3y + 15z = 0$

Для того чтобы привести уравнение к более простому виду, разделим все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{-6x}{3} + \frac{3y}{3} + \frac{15z}{3} = \frac{0}{3}$

В результате получаем итоговое уравнение плоскости:

$-2x + y + 5z = 0$

Ответ: $-2x + y + 5z = 0$

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $D(0; 0; 6)$ и перпендикулярной оси аппликат.

92. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D (0; 0; 6) и перпендикулярной оси аппликат.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи нам известно, что плоскость проходит через точку $D(0; 0; 6)$. Следовательно, мы можем взять $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 6$.

Также дано, что плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси $Oz$). Направляющий вектор оси $Oz$ — это любой вектор, параллельный ей, например, единичный вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Поскольку плоскость перпендикулярна оси $Oz$, её нормальный вектор $\vec{n}$ будет коллинеарен направляющему вектору оси $Oz$. Таким образом, в качестве нормального вектора плоскости мы можем взять вектор $\vec{n} = \vec{k} = (0; 0; 1)$. Это означает, что коэффициенты в уравнении плоскости равны $A = 0$, $B = 0$, $C = 1$.

Теперь подставим координаты точки $D$ и компоненты нормального вектора $\vec{n}$ в общее уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 6) = 0$

Упрощая это уравнение, получаем:

$z - 6 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $z - 6 = 0$.

93. Найдите точки пересечения плоскости $4x - 6y + 3z + 24 = 0$ с осями координат.

93. Найдите точки пересечения плоскости $4x - 6y + 3z + 24 = 0$ с осями координат.

Для нахождения точек пересечения плоскости с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю две из трех координат.

Пересечение с осью Ox
Точка пересечения с осью абсцисс (Ox) имеет координаты $y = 0$ и $z = 0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости $4x - 6y + 3z + 24 = 0$:
$4x - 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 24 = 0$
$4x + 24 = 0$
$4x = -24$
$x = -6$
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-6, 0, 0)$.
Ответ: $(-6, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy
Точка пересечения с осью ординат (Oy) имеет координаты $x = 0$ и $z = 0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:
$4 \cdot 0 - 6y + 3 \cdot 0 + 24 = 0$
$-6y + 24 = 0$
$-6y = -24$
$y = 4$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 4, 0)$.
Ответ: $(0, 4, 0)$.

Пересечение с осью Oz
Точка пересечения с осью аппликат (Oz) имеет координаты $x = 0$ и $y = 0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:
$4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 3z + 24 = 0$
$3z + 24 = 0$
$3z = -24$
$z = -8$
Таким образом, точка пересечения с осью Oz имеет координаты $(0, 0, -8)$.
Ответ: $(0, 0, -8)$.

94. Точки $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$ симметричны относительно плоскости $\alpha$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$ симметричны относительно плоскости $\alpha$. Составьте уравнение этой плоскости.

Плоскость $\alpha$, относительно которой симметричны точки A и A₁, является плоскостью, которая перпендикулярна отрезку AA₁ и проходит через его середину.

1. Найдём вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$.
Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку AA₁, то вектор $\vec{AA_1}$ является вектором нормали к этой плоскости.
Координаты точек: $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$.
Находим координаты вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{n} = \vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (-6 - (-4); 4 - (-2); 3 - 3) = (-2; 6; 0)$.
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A; B; C)$ — координаты вектора нормали.
Следовательно, уравнение плоскости можно записать как $-2x + 6y + 0z + D = 0$ или $-2x + 6y + D = 0$.

2. Найдём точку M, которая лежит на плоскости $\alpha$.
Такой точкой является середина отрезка AA₁. Найдём её координаты:
$x_M = \frac{x_A + x_{A_1}}{2} = \frac{-4 + (-6)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$y_M = \frac{y_A + y_{A_1}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_M = \frac{z_A + z_{A_1}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(-5; 1; 3)$.

3. Составим уравнение плоскости.
Поскольку точка $M(-5; 1; 3)$ принадлежит плоскости $\alpha$, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставим их в уравнение $-2x + 6y + D = 0$, чтобы найти коэффициент D:
$-2(-5) + 6(1) + D = 0$
$10 + 6 + D = 0$
$16 + D = 0$
$D = -16$

Итоговое уравнение плоскости: $-2x + 6y - 16 = 0$.
Для упрощения можно разделить все члены уравнения на -2:
$x - 3y + 8 = 0$.

Ответ: $x - 3y + 8 = 0$

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D (8; -7; 0) и параллельной плоскости $x - 2y + 5z + 6 = 0$.

95. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $D (8; -7; 0)$ и параллельной плоскости $x - 2y + 5z + 6 = 0$.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A; B; C)$ — это вектор нормали к плоскости.

По условию задачи, искомая плоскость параллельна плоскости, заданной уравнением $x - 2y + 5z + 6 = 0$.

Две плоскости параллельны, если их векторы нормали коллинеарны (пропорциональны). Вектор нормали для данной плоскости $\vec{n_1} = (1; -2; 5)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна данной, ее вектор нормали $\vec{n_2}$ можно принять равным вектору $\vec{n_1}$. То есть, $\vec{n_2} = (1; -2; 5)$.

Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид: $1 \cdot x - 2 \cdot y + 5 \cdot z + D_{new} = 0$, или просто $x - 2y + 5z + D_{new} = 0$.

Нам также известно, что искомая плоскость проходит через точку $D(8; -7; 0)$. Чтобы найти коэффициент $D_{new}$, подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:

$8 - 2 \cdot (-7) + 5 \cdot 0 + D_{new} = 0$

$8 + 14 + 0 + D_{new} = 0$

$22 + D_{new} = 0$

$D_{new} = -22$

Теперь подставляем найденное значение $D_{new}$ обратно в уравнение плоскости и получаем окончательное уравнение.

Ответ: $x - 2y + 5z - 22 = 0$