Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $45^\circ$. Радиус основания конуса равен 8 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $45^\circ$. Радиус основания конуса равен 8 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, R — радиус основания. Сечение конуса — это равнобедренный треугольник SAB, где SA и SB — образующие, а AB — хорда в основании конуса.

1) площадь образовавшегося сечения;

Площадь сечения, треугольника SAB, равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где SM — высота треугольника, опущенная на основание AB.

Сначала найдем длину хорды AB. В основании конуса рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где $OA = OB = R = 8$ см. Центральный угол $\angle AOB$ стягивает дугу в $120°$, следовательно, $\angle AOB = 120°$. По теореме косинусов для треугольника AOB:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120°)$

$AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 3 \cdot 64 = 192$

$AB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Далее найдем высоту сечения SM. Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Построим его. Пусть M — середина хорды AB. Тогда OM — медиана и высота в равнобедренном треугольнике AOB, значит $OM \perp AB$. SM — медиана и высота в равнобедренном треугольнике SAB, значит $SM \perp AB$. Следовательно, угол $\angle SMO$ и есть угол между плоскостями. По условию, $\angle SMO = 45°$.

Рассмотрим треугольник OMA в плоскости основания. Он прямоугольный ($\angle OMA = 90°$), $OA = 8$ см, $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120°}{2} = 60°$. Найдем длину катета OM:

$OM = OA \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник SOM. SO — высота конуса, поэтому $SO \perp OM$, и треугольник SOM — прямоугольный с прямым углом O. В нем мы знаем катет $OM = 4$ см и угол $\angle SMO = 45°$. Найдем высоту сечения SM (она является гипотенузой в $\triangle SOM$):

$SM = \frac{OM}{\cos(45°)} = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{6}$ см².

Ответ: $16\sqrt{6}$ см².

2) площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R=8$ см — радиус основания, а L — длина образующей.

Длину образующей L можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса H и радиус основания R. То есть, $L = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Высоту конуса $H = SO$ найдем из того же прямоугольного треугольника SOM:

$H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4 \cdot \tan(45°) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Теперь найдем длину образующей L:

$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 32\pi\sqrt{5}$ см².

Ответ: $32\pi\sqrt{5}$ см².

138. В основании конуса проведена хорда $AB$ на расстоянии 3 см от центра $O$ основания, отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

138. В основании конуса проведена хорда $AB$ на расстоянии 3 см от центра $O$ основания, отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

Пусть M - вершина конуса, а O - центр его основания. MO - высота конуса, и по условию $MO = 6\sqrt{2}$ см. В основании конуса проведена хорда AB.

Расстояние от центра основания O до хорды AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на хорду AB. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с хордой AB как H. Тогда $OH \perp AB$ и по условию $OH = 3$ см.

Поскольку MO - высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MO \perp OH$. Следовательно, треугольник MOH является прямоугольным, где $\angle MOH = 90^\circ$.

Искомое расстояние от точки O до плоскости AMB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на эту плоскость.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и H. Так как $OH \perp AB$ по построению и $MO \perp AB$ (поскольку MO перпендикулярна всей плоскости основания, в которой лежит AB), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AB перпендикулярна плоскости MOH.

Плоскость AMB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна плоскости MOH. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость AMB перпендикулярна плоскости MOH.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая MH. Перпендикуляр из точки O (которая лежит в плоскости MOH) на плоскость AMB будет лежать в плоскости MOH и будет перпендикулярен линии их пересечения MH. Таким образом, искомое расстояние — это высота прямоугольного треугольника MOH, проведенная из вершины прямого угла O к гипотенузе MH.

Найдем длину гипотенузы MH в прямоугольном треугольнике MOH по теореме Пифагора:
$MH^2 = MO^2 + OH^2$
$MH^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 = 36 \cdot 2 + 9 = 72 + 9 = 81$
$MH = \sqrt{81} = 9$ см.

Пусть OK — высота треугольника MOH, проведенная к гипотенузе MH. Длину этой высоты можно найти, приравняв выражения для площади треугольника:
$S_{\triangle MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$
$MO \cdot OH = MH \cdot OK$
$OK = \frac{MO \cdot OH}{MH}$
Подставим известные значения:
$OK = \frac{6\sqrt{2} \cdot 3}{9} = \frac{18\sqrt{2}}{9} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $α$, проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $β$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $L$ — длина образующей конуса, а $R$ — радиус его основания. Площадь боковой поверхности конуса, которую нам нужно найти, вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R L$

Рассмотрим сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими длиной $L$ и хордой в основании. Угол между образующими равен $\alpha$. Площадь этого треугольника $S$ задана и равна:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \sin(\alpha) = \frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить квадрат длины образующей:

$L^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем радиус основания $R$. Пусть $P$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, а $A$ и $B$ — точки на окружности основания, через которые проходят образующие. Сечение — это треугольник $PAB$. Угол между плоскостью сечения $(PAB)$ и плоскостью основания $(OAB)$ равен $\beta$.

Проведем высоту $PM$ в треугольнике $PAB$. Так как треугольник $PAB$ равнобедренный ($PA=PB=L$), высота $PM$ является также медианой и биссектрисой. Точка $M$ — середина хорды $AB$.

Отрезок $OM$ в плоскости основания перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, угол между плоскостями сечения и основания — это линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями с общей прямой $AB$. Таким углом является $\angle PMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. По теореме Пифагора $OA^2 = OM^2 + AM^2$, где $OA = R$. Таким образом:

$R^2 = OM^2 + AM^2$

Найдем $AM$ и $OM$. В треугольнике $PAB$ высота $PM$ делит угол $\alpha$ пополам. В прямоугольном треугольнике $PMA$:

$AM = L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$PM = L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь в прямоугольном треугольнике $PMO$ (с прямым углом $O$):

$OM = PM \cos(\beta) = L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos(\beta)$

Подставим выражения для $AM$ и $OM$ в формулу для $R^2$:

$R^2 = \left(L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos(\beta)\right)^2 + \left(L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2$

$R^2 = L^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta) + L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$R^2 = L^2 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Теперь найдем искомую площадь боковой поверхности. Удобнее сначала найти ее квадрат:

$S_{бок}^2 = (\pi R L)^2 = \pi^2 R^2 L^2$

Подставим найденные выражения для $R^2$ и $L^2$:

$S_{бок}^2 = \pi^2 \left( L^2 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right) \right) L^2$

$S_{бок}^2 = \pi^2 L^4 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Заменим $L^4 = (L^2)^2 = \left(\frac{2S}{\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{4S^2}{\sin^2(\alpha)}$:

$S_{бок}^2 = \pi^2 \frac{4S^2}{\sin^2(\alpha)} \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Извлечем квадратный корень:

$S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)}$

Выражение под корнем можно упростить, используя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta)$.

$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) (1 - \sin^2(\beta)) = \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta) = 1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)$

Тогда окончательная формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)}$

Ответ: $ \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)} $

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна 300°. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 5 см.

140. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна 300°. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 5 см.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса (обозначим её $L$), а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса (обозначим её $C$).

По условию задачи, радиус основания конуса $r = 5$ см. Мы можем найти длину окружности основания по формуле:
$C = 2\pi r$
$C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора-развёртки равна длине окружности основания конуса, следовательно, длина дуги равна $10\pi$ см.

С другой стороны, длина дуги сектора вычисляется по формуле:
$S_{дуги} = \frac{2\pi L \alpha}{360°}$
где $L$ — радиус сектора (т.е. образующая конуса), а $\alpha$ — градусная мера дуги, которая по условию равна $300°$.

Приравняем два выражения для длины дуги и решим полученное уравнение относительно $L$:
$10\pi = \frac{2\pi L \cdot 300°}{360°}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$5 = \frac{L \cdot 300}{360}$

Сократим дробь $\frac{300}{360}$:
$\frac{300}{360} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

Теперь уравнение имеет вид:
$5 = L \cdot \frac{5}{6}$

Отсюда находим $L$:
$L = 5 \div \frac{5}{6} = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса, если периметр его осевого сечения равен 24 см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если периметр его осевого сечения равен 24 см.

Пусть $l$ - образующая конуса (которая также является радиусом сектора развёртки), $r$ - радиус основания конуса, а $\alpha$ - центральный угол сектора развёртки боковой поверхности.

Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора вычисляется по формуле $L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$. Длина окружности основания конуса равна $C = 2\pi r$.

Приравнивая эти две величины и подставляя известный угол $\alpha = 120^\circ$, получаем соотношение между $r$ и $l$: $2\pi r = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l$

Сократив $2\pi$ в обеих частях уравнения, получим: $r = \frac{1}{3} l$, что эквивалентно $l = 3r$.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$.

Периметр осевого сечения $P$ равен сумме длин его сторон: $P = l + l + 2r = 2l + 2r$.

По условию задачи, периметр равен 24 см: $2l + 2r = 24$

Разделив обе части уравнения на 2, получим: $l + r = 12$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $r$ и $l$: 1) $l = 3r$ 2) $l + r = 12$

Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе: $3r + r = 12$ $4r = 12$ $r = 3$ см.

Зная радиус, найдем образующую: $l = 3r = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$.

Подставим найденные значения $r=3$ см и $l=9$ см в формулу. Также можно использовать ранее найденное соотношение $r+l=12$: $S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 9) = \pi \cdot 3 \cdot 12 = 36\pi$ см².

Ответ: $36\pi$ см².

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, противолежащий данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, противолежащий данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Параметры этого конуса будут следующими:

• Образующая конуса ($L$) будет равна гипотенузе исходного треугольника. В данном случае $L = c$.
• Высота конуса ($H$) будет равна катету, который является осью вращения.
• Радиус основания конуса ($R$) будет равен второму катету.

В условии задачи сказано, что треугольник вращается вокруг прямой, содержащей катет, противолежащий углу $\alpha$. Это означает, что этот катет является высотой конуса ($H$), а радиусом основания ($R$) является катет, прилежащий к углу $\alpha$.

Рассмотрим исходный прямоугольный треугольник. В нем:

• Гипотенуза равна $c$.
• Острый угол равен $\alpha$.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, является радиусом основания конуса $R$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе) мы можем выразить радиус $R$:

$\cos(\alpha) = \frac{R}{c}$

Отсюда находим радиус основания конуса:

$R = c \cdot \cos(\alpha)$

Формула для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L$

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R = c \cdot \cos(\alpha)$ и значение образующей $L = c$:

$S_{бок} = \pi \cdot (c \cdot \cos(\alpha)) \cdot c$

$S_{бок} = \pi c^2 \cos(\alpha)$

Ответ: $\pi c^2 \cos(\alpha)$

143. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг прямой, содержащей наибольшую сторону, то есть сторону $c = 21$ см.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, представляет собой два конуса, соединенных основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Образующими конусов являются две меньшие стороны треугольника: $l_1 = a = 13$ см и $l_2 = b = 20$ см. Радиус общего основания конусов ($R$) равен высоте треугольника ($h_c$), опущенной на наибольшую сторону $c$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$. Таким образом, искомая площадь поверхности тела вращения: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$

Чтобы найти радиус $R = h_c$, сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A$: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$ $A = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2}$ $A = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $A = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Отсюда выразим высоту $h_c$: $h_c = \frac{2A}{c} = \frac{2 \cdot 126}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Таким образом, радиус основания конусов $R = 12$ см. Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения: $S = \pi R (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 20) = \pi \cdot 12 \cdot 33 = 396\pi$ см$^2$.

Ответ: $396\pi$ см$^2$.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b$. Следовательно, $AC = b$ и $\angle CAB = \alpha$.

При вращении этого треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу AB, образуется тело, состоящее из двух конусов, имеющих общее основание. Вершина первого конуса находится в точке A, а вершина второго — в точке B.

Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

1. Найдём параметры конусов.

Образующими конусов являются катеты треугольника AC и BC. Образующая первого конуса (с вершиной A): $l_1 = AC = b$.

Найдём длину второго катета BC из треугольника ABC: $ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{b} $ Отсюда, образующая второго конуса (с вершиной B): $l_2 = BC = b \cdot \tan(\alpha)$.

Радиус общего основания $R$ обоих конусов равен высоте $h$, проведённой из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (где H — основание высоты на гипотенузе). В этом треугольнике гипотенуза $AC = b$, а угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{AC} = \frac{R}{b} $ Отсюда, радиус основания: $R = b \cdot \sin(\alpha)$.

2. Вычислим площади боковых поверхностей.

Площадь боковой поверхности первого конуса: $ S_1 = \pi R l_1 = \pi (b \sin(\alpha)) b = \pi b^2 \sin(\alpha) $

Площадь боковой поверхности второго конуса: $ S_2 = \pi R l_2 = \pi (b \sin(\alpha)) (b \tan(\alpha)) = \pi b^2 \sin(\alpha) \tan(\alpha) $

3. Найдём общую площадь поверхности.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$: $ S = S_1 + S_2 = \pi b^2 \sin(\alpha) + \pi b^2 \sin(\alpha) \tan(\alpha) $

Вынесем общий множитель $ \pi b^2 \sin(\alpha) $ за скобки для упрощения выражения: $ S = \pi b^2 \sin(\alpha) (1 + \tan(\alpha)) $

Ответ: $ S = \pi b^2 \sin(\alpha) (1 + \tan(\alpha)) $.