Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Поскольку конус описан около правильной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса. Это означает, что образующая конуса ($L$) равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.

Из условия задачи мы знаем, что образующая конуса $L = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), его радиусом ($R$) и образующей ($L$). Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей $L$ и радиусом $R$. По условию этот угол равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике:

Катет $R$ (прилежащий к углу $45^\circ$) можно найти через гипотенузу $L$:

$R = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставив $L=b$, получаем:

$R = b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса. Она складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L$

Подставим найденные значения $R$ и $L$:

$S_{полн} = \pi \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right) \cdot b$

$S_{полн} = \pi \frac{b^2 \cdot 2}{4} + \frac{\pi b^2 \sqrt{2}}{2}$

$S_{полн} = \frac{\pi b^2}{2} + \frac{\pi b^2 \sqrt{2}}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi b^2}{2}$ за скобки:

$S_{полн} = \frac{\pi b^2}{2}(1 + \sqrt{2})$

Ответ: $\frac{\pi b^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$

162. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC такой, что $AB = BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ACD = \beta$.

162. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC такой, что $AB = BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ACD = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей.

Поскольку конус описан около пирамиды $DABC$, его вершина совпадает с вершиной пирамиды $D$, а основание конуса — это окружность, описанная около основания пирамиды, треугольника $ABC$. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$, а образующая конуса $L$ равна длине боковых ребер пирамиды, т.е. $L = DA = DB = DC$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2$.

Радиус $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности можно найти по теореме синусов:$\frac{a}{\sin(\angle BCA)} = 2R$

Подставим значение угла:$\frac{a}{\sin(90^\circ - \alpha/2)} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:$\frac{a}{\cos(\alpha/2)} = 2R$

Отсюда находим радиус:$R = \frac{a}{2\cos(\alpha/2)}$

2. Найдем образующую конуса $L$.

Образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра $DC$. Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $DA = DC = L$, он является равнобедренным. По условию $\angle ACD = \beta$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DAC = \angle ACD = \beta$.

Найдем длину основания $AC$ этого треугольника из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$:$AC^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$$AC = 2a\sin(\alpha/2)$

Теперь вернемся к треугольнику $ADC$. Проведем в нем высоту $DK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $CK = \frac{1}{2}AC = a\sin(\alpha/2)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DKC$. Из определения косинуса угла:$\cos(\angle KCD) = \frac{CK}{DC}$$\cos(\beta) = \frac{a\sin(\alpha/2)}{L}$

Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{a\sin(\alpha/2)}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{a\sin(\alpha/2)}{\cos(\beta)}\right)$

$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha/2)\cos(\beta)}$

Учитывая, что $\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$, получаем окончательное выражение:$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha/2)}{2\cos(\beta)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha/2)}{2\cos(\beta)}$.

163. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, а апофема – $\sqrt{19}$ см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

163. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, а апофема — $\sqrt{19}$ см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку конус вписан в правильную шестиугольную пирамиду, их вершины совпадают, а высота конуса равна высоте пирамиды. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты пирамиды.

Обозначим сторону основания пирамиды как $a$, апофему пирамиды как $l$, высоту пирамиды как $H$, и радиус окружности, вписанной в основание, как $r$.

Дано:

• Сторона основания (правильного шестиугольника) $a = 2$ см.
• Апофема пирамиды $l = \sqrt{19}$ см.

Высота пирамиды $H$, её апофема $l$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой, а $H$ и $r$ – катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + r^2$

Отсюда, $H = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус равен апофеме шестиугольника и вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a=2$ см:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H$, подставив значения $l$ и $r$ в формулу из теоремы Пифагора:

$H = \sqrt{(\sqrt{19})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{19 - 3} = \sqrt{16} = 4$ см.

Так как высота вписанного конуса равна высоте пирамиды, то высота конуса составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для решения задачи воспользуемся связью между параметрами правильной пирамиды и вписанного в нее конуса. Конус, вписанный в правильную пирамиду, имеет общую с ней вершину и высоту. Основание конуса — это круг, вписанный в многоугольник, являющийся основанием пирамиды.

Обозначим:

• $m$ — апофема правильной пирамиды (длина высоты боковой грани).
• $l$ — образующая вписанного конуса.
• $h$ — высота пирамиды и конуса.
• $r$ — радиус основания вписанного конуса.

Апофема пирамиды $m$ является образующей вписанного конуса $l$. Таким образом, $l = m$.

Угол, который апофема пирамиды образует с плоскостью основания, — это угол между апофемой $m$ и проекцией этой апофемы на основание. Проекцией апофемы на основание является радиус вписанной в основание окружности, то есть радиус основания конуса $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике:

• $l$ — гипотенуза.
• $h$ и $r$ — катеты.
• Угол между образующей $l$ и радиусом $r$ равен $30^{\circ}$ по условию.

Теперь найдем радиус основания конуса $r$, используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике:

$r = l \cdot \cos(30^{\circ})$

Так как $l = m$, получаем:

$r = m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$

Подставим в эту формулу найденное значение $r$ и известное значение $l=m$:

$S_{полн} = \pi \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \left( \frac{m\sqrt{3}}{2} + m \right)$

Вынесем $m$ за скобки внутри круглых скобок:

$S_{полн} = \pi \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \cdot m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)$

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 \sqrt{3}}{2} \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right)$

Перемножим дроби:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3})}{4}$

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$

165. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$, то есть угол при вершине каждой боковой грани (например, $\angle BSC$) равен $\alpha$.

Конус вписан в пирамиду, следовательно, их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат). Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, площадь которого $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = r \cdot H$, где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание конуса — это круг, вписанный в квадрат со стороной $a$. Диаметр такого круга равен стороне квадрата, то есть $2r = a$. Следовательно, радиус основания конуса равен:

$r = \frac{a}{2}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$.

Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, равнобедренный треугольник $SBC$. Проведем в нем высоту $SK$, которая является апофемой пирамиды. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Поэтому $K$ — середина стороны $BC$, а угол $\angle KSC = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SKC$ (где $KC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$) найдем апофему $SK$:

$\text{ctg}(\angle KSC) = \frac{SK}{KC} \implies SK = KC \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2} \text{ctg}\frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. Его катеты — это высота пирамиды $H = SO$ и отрезок $OK$. Отрезок $OK$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому его длина равна половине стороны квадрата: $OK = r = \frac{a}{2}$. Гипотенуза — апофема $SK$.

По теореме Пифагора $SO^2 + OK^2 = SK^2$:

$H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2} \text{ctg}\frac{\alpha}{2}\right)^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = \frac{a^2}{4} \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{a^2}{4} \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)} = \frac{a}{2} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$

Для существования высоты необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным: $\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1 \ge 0$, что выполняется при $\alpha \le 90^\circ$.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{a}{2} \cdot \left( \frac{a}{2} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right) = \frac{a^2}{4} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$

Ответ: $\frac{a^2}{4} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC=BC=10$ см (боковые стороны) и $AB=16$ см (основание).Конус вписан в пирамиду. Это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник $ABC$).Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса представляет собой площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$.

Чтобы найти площадь осевого сечения, нам нужно найти радиус вписанной окружности $r$ и высоту пирамиды (конуса) $H$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Сначала найдем полупериметр треугольника $ABC$:$p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{10 + 10 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$. Проведем высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HB = \frac{16}{2} = 8$ см.Из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь треугольника $ABC$:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды (конуса) $H$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $60^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ - центр вписанной окружности, а $S$ - вершина пирамиды. Тогда $SO = H$ - высота пирамиды и конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $OK$ - радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной основания ($OK \perp AB$, например). $SK$ - апофема боковой грани. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $60^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $SOK$:$SO = H$ (противолежащий катет),$OK = r = \frac{8}{3}$ см (прилежащий катет).

Из определения тангенса:$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

Отсюда выражаем высоту $H$:$H = r \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{8}{3} \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения конуса.

Теперь, когда у нас есть и радиус $r$, и высота $H$, мы можем найти площадь осевого сечения:$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{8}{3} \cdot \left(\frac{8}{3} \sqrt{3}\right) = \frac{64\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $ \frac{64\sqrt{3}}{9} $ см$^2$.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной 6 см и углом $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной 6 см и углом 45°. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, а $l$ – образующая конуса. Для решения задачи необходимо найти эти две величины.

1. Нахождение радиуса основания конуса ($r$)

Так как пирамида описана около конуса, то окружность основания конуса вписана в основание пирамиды, которым является ромб. Радиус $r$ основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Диаметр вписанной окружности ($2r$) равен высоте ромба ($h_{ромб}$).

Высоту ромба можно найти, зная его сторону $a$ и угол $\alpha$. Площадь ромба $S$ можно вычислить по формулам $S = a \cdot h_{ромб}$ и $S = a^2 \sin \alpha$. Приравняв правые части, получим:

$a \cdot h_{ромб} = a^2 \sin \alpha$

$h_{ромб} = a \sin \alpha$

Подставим данные из условия: $a = 6$ см и $\alpha = 45°$.

$h_{ромб} = 6 \cdot \sin 45° = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса:

$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Нахождение образующей конуса ($l$)

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $60°$. Это означает, что вершина пирамиды (и конуса) проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. Угол между образующей $l$ и плоскостью основания (то есть радиусом $r$, проведенным к линии касания) является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и он равен $\beta = 60°$. В этом треугольнике $r$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, а $l$ — гипотенуза.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos \beta = \frac{r}{l}$

Отсюда выразим образующую $l$:

$l = \frac{r}{\cos \beta} = \frac{3\sqrt{2}/2}{\cos 60°} = \frac{3\sqrt{2}/2}{1/2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса

Теперь, зная радиус $r$ и образующую $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{2} = 9\pi$ см².

Ответ: $9\pi$ см².

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

По условию, основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями $a = 18$ см и $b = 8$ см. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом ($30^\circ$), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Конус, вписанный в эту пирамиду, будет иметь своей высотой высоту пирамиды, а основанием — окружность, вписанную в трапецию.

Для нахождения площади осевого сечения конуса нам необходимо найти его радиус $r$ и высоту $H_{кон}$.

1. Найдем радиус основания конуса.
Радиус основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает:$a + b = 2c$$18 + 8 = 2c$$26 = 2c$$c = 13$ см.

Высота трапеции $h_{трап}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{трап} = 2r$). Найдем высоту, проведя ее из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок, длина которого равна полуразности оснований:$x = \frac{a - b}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5$ см.Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c$, а катетами — высота $h_{трап}$ и отрезок $x$. По теореме Пифагора:$c^2 = h_{трап}^2 + x^2$$13^2 = h_{трап}^2 + 5^2$$169 = h_{трап}^2 + 25$$h_{трап}^2 = 144$$h_{трап} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания конуса) равен половине высоты трапеции:$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Найдем высоту конуса.
Высота конуса $H_{кон}$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катеты — это высота пирамиды $H_{кон}$ и радиус $r$, а угол, противолежащий высоте, — это заданный угол наклона боковой грани, равный $30^\circ$.$\tan(30^\circ) = \frac{H_{кон}}{r}$$H_{кон} = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота — высоте конуса $H_{кон}$.Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H_{кон} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H_{кон} = r \cdot H_{кон}$Подставим найденные значения:$S_{сеч} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12\sqrt{3}$ см².

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которой равно $b$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которой равно $b$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=b$ и углом при вершине $A$, равным $\beta$. Двугранные углы при ребрах основания $AB, BC, CA$ равны $\gamma$.

Площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду, находится по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в треугольник основания $ABC$. Таким образом, радиус основания вписанного конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а образующая конуса $l$ равна апофеме пирамиды (высоте боковой грани, проведенной из вершины $S$).

1. Найдем радиус $r$ вписанной в основание окружности.В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.Проведем высоту, медиану и биссектрису $AM$ из вершины $A$ к основанию $BC$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $MC = \frac{b}{2}$.Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе $AM$. Радиус $r=OM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$. Угол $\angle OCM$ равен половине угла $\angle C$, так как $CO$ — биссектриса угла $C$.$\angle OCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ - \beta/2}{2} = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$.Из треугольника $OMC$ находим $r$:$r = OM = MC \cdot \tan(\angle OCM) = \frac{b}{2} \tan(45^\circ - \frac{\beta}{4})$.

2. Найдем образующую конуса $l$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $SO=H$ — высота пирамиды (и конуса), $OM=r$, а $SM=l$ — апофема пирамиды (и образующая конуса). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, следовательно, $\angle SMO = \gamma$.Из треугольника $SOM$ имеем: $\cos(\gamma) = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{l}$.Отсюда выразим образующую: $l = \frac{r}{\cos(\gamma)}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.Подставим выражения для $r$ и $l$ в формулу площади:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot r \cdot \frac{r}{\cos(\gamma)} = \frac{\pi r^2}{\cos(\gamma)}$.Теперь подставим найденное значение $r$:$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\gamma)} \left( \frac{b}{2} \tan(45^\circ - \frac{\beta}{4}) \right)^2 = \frac{\pi b^2}{4 \cos(\gamma)} \tan^2(45^\circ - \frac{\beta}{4})$.

Ответ: $ \frac{\pi b^2 \tan^2(45^\circ - \frac{\beta}{4})}{4 \cos(\gamma)} $