Номер 166, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

166. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 10 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC=BC=10$ см (боковые стороны) и $AB=16$ см (основание).Конус вписан в пирамиду. Это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник $ABC$).Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса представляет собой площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$.

Чтобы найти площадь осевого сечения, нам нужно найти радиус вписанной окружности $r$ и высоту пирамиды (конуса) $H$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Сначала найдем полупериметр треугольника $ABC$:$p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{10 + 10 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$. Проведем высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HB = \frac{16}{2} = 8$ см.Из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь треугольника $ABC$:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды (конуса) $H$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $60^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ - центр вписанной окружности, а $S$ - вершина пирамиды. Тогда $SO = H$ - высота пирамиды и конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $OK$ - радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной основания ($OK \perp AB$, например). $SK$ - апофема боковой грани. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $60^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $SOK$:$SO = H$ (противолежащий катет),$OK = r = \frac{8}{3}$ см (прилежащий катет).

Из определения тангенса:$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

Отсюда выражаем высоту $H$:$H = r \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{8}{3} \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения конуса.

Теперь, когда у нас есть и радиус $r$, и высота $H$, мы можем найти площадь осевого сечения:$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{8}{3} \cdot \left(\frac{8}{3} \sqrt{3}\right) = \frac{64\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $ \frac{64\sqrt{3}}{9} $ см$^2$.