Номер 171, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота – 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота — 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используется формула $S_{бок} = \pi(R+r)L$, где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $L$ – образующая конуса. Найдем эти величины.

1. Нахождение радиуса меньшего основания конуса (r)

Так как правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, то окружность меньшего основания конуса вписана в правильный треугольник, являющийся меньшим основанием пирамиды. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ – сторона треугольника.

По условию, сторона меньшего основания усеченной пирамиды $a_1 = 6$ см. Тогда радиус меньшего основания конуса равен:

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса большего основания конуса (R)

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через апофемы. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которой основаниями являются апофемы оснований пирамиды (которые равны радиусам вписанных окружностей $R$ и $r$), а боковой стороной – апофема усеченной пирамиды. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = 3$ см.

Двугранный угол усеченной пирамиды при ребре большего основания – это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении этот угол равен углу между апофемой пирамиды и радиусом $R$ большего основания. Он равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, разностью радиусов $R-r$ и апофемой усеченной пирамиды. В этом треугольнике:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r}$

Отсюда найдем разность радиусов:

$R-r = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти радиус большего основания $R$:

$R = r + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение образующей усечённого конуса (L)

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса $H$ и разность радиусов его оснований $R-r$. По теореме Пифагора:

$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2}$

$L = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 9 \cdot 3} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.

4. Нахождение площади боковой поверхности усечённого конуса

Теперь, имея все необходимые значения, вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R+r)L = \pi(4\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot 6 = \pi(5\sqrt{3}) \cdot 6 = 30\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $30\pi\sqrt{3}$ см².