Номер 167, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной 6 см и углом $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

167. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной 6 см и углом 45°. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, а $l$ – образующая конуса. Для решения задачи необходимо найти эти две величины.

1. Нахождение радиуса основания конуса ($r$)

Так как пирамида описана около конуса, то окружность основания конуса вписана в основание пирамиды, которым является ромб. Радиус $r$ основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Диаметр вписанной окружности ($2r$) равен высоте ромба ($h_{ромб}$).

Высоту ромба можно найти, зная его сторону $a$ и угол $\alpha$. Площадь ромба $S$ можно вычислить по формулам $S = a \cdot h_{ромб}$ и $S = a^2 \sin \alpha$. Приравняв правые части, получим:

$a \cdot h_{ромб} = a^2 \sin \alpha$

$h_{ромб} = a \sin \alpha$

Подставим данные из условия: $a = 6$ см и $\alpha = 45°$.

$h_{ромб} = 6 \cdot \sin 45° = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса:

$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Нахождение образующей конуса ($l$)

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $60°$. Это означает, что вершина пирамиды (и конуса) проецируется в центр окружности, вписанной в основание.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. Угол между образующей $l$ и плоскостью основания (то есть радиусом $r$, проведенным к линии касания) является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и он равен $\beta = 60°$. В этом треугольнике $r$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, а $l$ — гипотенуза.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике следует:

$\cos \beta = \frac{r}{l}$

Отсюда выразим образующую $l$:

$l = \frac{r}{\cos \beta} = \frac{3\sqrt{2}/2}{\cos 60°} = \frac{3\sqrt{2}/2}{1/2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса

Теперь, зная радиус $r$ и образующую $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{2} = 9\pi$ см².

Ответ: $9\pi$ см².