Номер 161, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

161. Боковое ребро правильной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Поскольку конус описан около правильной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса. Это означает, что образующая конуса ($L$) равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.

Из условия задачи мы знаем, что образующая конуса $L = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), его радиусом ($R$) и образующей ($L$). Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей $L$ и радиусом $R$. По условию этот угол равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике:

Катет $R$ (прилежащий к углу $45^\circ$) можно найти через гипотенузу $L$:

$R = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставив $L=b$, получаем:

$R = b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса. Она складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L$

Подставим найденные значения $R$ и $L$:

$S_{полн} = \pi \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right) \cdot b$

$S_{полн} = \pi \frac{b^2 \cdot 2}{4} + \frac{\pi b^2 \sqrt{2}}{2}$

$S_{полн} = \frac{\pi b^2}{2} + \frac{\pi b^2 \sqrt{2}}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi b^2}{2}$ за скобки:

$S_{полн} = \frac{\pi b^2}{2}(1 + \sqrt{2})$

Ответ: $\frac{\pi b^2 (1 + \sqrt{2})}{2}$