Номер 159, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол ($30^\circ$), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около ее основания. Основанием пирамиды является прямоугольник, а центром описанной около него окружности является точка пересечения диагоналей. Конус, описанный около пирамиды, будет иметь ту же вершину и высоту, а его основанием будет круг, описанный около прямоугольника.

Радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника. Найдем диагональ $d$ прямоугольника со сторонами $a = 18$ см и $b = 24$ см по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.
Следовательно, радиус $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и боковым ребром пирамиды. В этом треугольнике угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом) равен $30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу, а радиус $R$ — прилежащим катетом. Тогда:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R}$
$H = R \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота — высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставим найденные значения $R$ и $H$ для вычисления площади:
$S = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $75\sqrt{3} \text{ см}^2$.