Номер 160, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC. Сторона основания $AB = BC = CA = a$. Так как пирамида правильная, ее вершина S проецируется в центр O основания, который является центром вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника ABC. Высота пирамиды – это отрезок SO.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину S и то же основание, что и пирамида. Основанием конуса является круг, описанный около треугольника ABC. Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Найдем радиус основания конуса $R$ и его высоту $H$.

1. Нахождение радиуса основания конуса R.
Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Нахождение высоты конуса H.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$. Двугранный угол при ребре основания равен $\alpha$. Это угол между боковой гранью (например, SBC) и плоскостью основания (ABC).
Проведем апофему SM боковой грани SBC (M – середина BC). Так как треугольник SBC равнобедренный ($SB = SC$), то $SM \perp BC$. Также проведем отрезок OM. OM является радиусом вписанной в основание окружности. В равностороннем треугольнике высота AM также является медианой, поэтому $AM \perp BC$. Так как O лежит на AM, то $OM \perp BC$.
Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре BC, и по условию $\angle SMO = \alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет OM – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ его радиус равен:

$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из треугольника SOM найдем высоту $H = SO$ через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$.

3. Вычисление площади осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = R \cdot H = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 6} \tan(\alpha) = \frac{3a^2}{18} \tan(\alpha) = \frac{a^2}{6} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\frac{a^2}{6} \tan(\alpha)$.