Номер 156, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 8$ см, $CD = 10$ см, $BC = 5$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 8$ см, $CD = 10$ см, $BC = 5$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг боковой стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усеченный конус.

Параметры образовавшегося усеченного конуса:

• Высота конуса $h$ равна стороне $AB$, то есть $h = 8$ см.
• Радиус меньшего основания $r$ равен основанию трапеции $BC$, то есть $r = 5$ см.
• Образующая конуса $l$ равна боковой стороне $CD$, то есть $l = 10$ см.
• Радиус большего основания $R$ равен основанию трапеции $AD$.

Для вычисления площади боковой поверхности необходимо найти радиус большего основания $R = AD$. Для этого опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$.

Так как трапеция прямоугольная ($AB \perp AD$) и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником. Следовательно, $AH = BC = 5$ см, а $CH = AB = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем катет $HD$:
$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания $AD$, которое является радиусом $R$:
$R = AD = AH + HD = 5 + 6 = 11$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi (R + r) l$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \pi (11 + 5) \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².