Номер 150, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Образующая усечённого конуса равна 15 см, высота — 12 см, а радиус меньшего основания — 6 см.

Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

150. Образующая усечённого конуса равна 15 см, высота — 12 см, а радиус меньшего основания — 6 см.

Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны равны образующей конуса ($l$), а высота трапеции равна высоте конуса ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h_{тр}$ — высота трапеции. Для осевого сечения усеченного конуса формула принимает вид:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

По условию задачи даны:

• образующая $l = 15$ см;
• высота $h = 12$ см;
• радиус меньшего основания $r = 6$ см.

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус большего основания $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота усечённого конуса $h$, его образующая $l$ и разность радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и разность радиусов $(R-r)$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения и найдем $R$:

$15^2 = 12^2 + (R-6)^2$

$225 = 144 + (R-6)^2$

$(R-6)^2 = 225 - 144$

$(R-6)^2 = 81$

Поскольку радиус является величиной положительной, извлекаем квадратный корень:

$R-6 = 9$

$R = 9 + 6$

$R = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь осевого сечения, подставив все известные значения в формулу:

$S_{сеч} = (R+r) \cdot h = (15 + 6) \cdot 12$

$S_{сеч} = 21 \cdot 12 = 252$ см².

Ответ: $252$ см².