Номер 146, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 25 см, а высота — 12 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 25 см, а высота — 12 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Поверхность тела вращения, полученного при вращении равнобокой трапеции вокруг прямой, содержащей её меньшее основание, состоит из суммы площадей поверхностей, образованных вращением большего основания и двух боковых сторон.

Площадь поверхности, образованной вращением большего основания.
При вращении большего основания трапеции ($b = 25$ см) образуется боковая поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r$ равен высоте трапеции ($h = 12$ см), а образующая (в данном случае, "высота") цилиндра равна длине большего основания.Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{цил}$) вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r b$.$S_{цил} = 2 \pi \cdot 12 \cdot 25 = 600 \pi \text{ см}^2$.

Площадь поверхностей, образованных вращением боковых сторон.
При вращении каждой боковой стороны образуется боковая поверхность конуса. Так как трапеция равнобокая, эти две поверхности одинаковы.Радиус основания каждого конуса $r_{кон}$ равен высоте трапеции, то есть $r_{кон} = h = 12$ см.Образующая конуса $l$ равна длине боковой стороны трапеции. Найдем $l$ по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок, равный полуразности оснований $\frac{b - a}{2}$, где $a=15$ см и $b=25$ см.Длина отрезка: $\frac{b - a}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Найдем длину образующей:$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.Площадь боковой поверхности одного конуса ($S_{кон}$) равна $S_{кон} = \pi r_{кон} l$.$S_{кон} = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156 \pi \text{ см}^2$.Суммарная площадь двух таких поверхностей: $2 \cdot S_{кон} = 2 \cdot 156 \pi = 312 \pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения.
Полная площадь $S$ является суммой найденных площадей:$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 600 \pi + 312 \pi = 912 \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $912 \pi \text{ см}^2$.