Номер 147, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Высота конуса равна 18 см, а радиус основания — 6 см. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его боковую поверхность по окружности, радиус которой 4 см. Найдите расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса.

147. Высота конуса равна 18 см, а радиус основания — 6 см. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его боковую поверхность по окружности, радиус которой 4 см. Найдите расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу основания конуса $R$. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, образует в сечении отрезок, параллельный основанию треугольника. Этот отрезок является диаметром окружности сечения, а его половина — радиусом этой окружности $r$.

Таким образом, в осевом сечении мы имеем два подобных прямоугольных треугольника. Один, больший, образован высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. Второй, меньший, отсекается плоскостью сечения и имеет высоту $h$ (от вершины конуса до плоскости сечения) и основание, равное радиусу сечения $r$.

По условию задачи:

• Высота большого конуса $H = 18$ см
• Радиус основания большого конуса $R = 6$ см
• Радиус сечения (основания малого конуса) $r = 4$ см

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{h}{H} = \frac{r}{R} $$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту малого конуса $h$:

$$ \frac{h}{18} = \frac{4}{6} $$

Упростим правую часть уравнения:

$$ \frac{h}{18} = \frac{2}{3} $$

Теперь найдем $h$:

$$ h = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 \text{ см} $$

Мы нашли расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. Чтобы найти искомое расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса, нужно вычесть высоту малого конуса $h$ из высоты большого конуса $H$.

$$ d = H - h = 18 - 12 = 6 \text{ см} $$

Ответ: 6 см.