Номер 142, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, противолежащий данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

142. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его катет, противолежащий данному углу. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Параметры этого конуса будут следующими:

• Образующая конуса ($L$) будет равна гипотенузе исходного треугольника. В данном случае $L = c$.
• Высота конуса ($H$) будет равна катету, который является осью вращения.
• Радиус основания конуса ($R$) будет равен второму катету.

В условии задачи сказано, что треугольник вращается вокруг прямой, содержащей катет, противолежащий углу $\alpha$. Это означает, что этот катет является высотой конуса ($H$), а радиусом основания ($R$) является катет, прилежащий к углу $\alpha$.

Рассмотрим исходный прямоугольный треугольник. В нем:

• Гипотенуза равна $c$.
• Острый угол равен $\alpha$.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, является радиусом основания конуса $R$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе) мы можем выразить радиус $R$:

$\cos(\alpha) = \frac{R}{c}$

Отсюда находим радиус основания конуса:

$R = c \cdot \cos(\alpha)$

Формула для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L$

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R = c \cdot \cos(\alpha)$ и значение образующей $L = c$:

$S_{бок} = \pi \cdot (c \cdot \cos(\alpha)) \cdot c$

$S_{бок} = \pi c^2 \cos(\alpha)$

Ответ: $\pi c^2 \cos(\alpha)$