Номер 137, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $45^\circ$. Радиус основания конуса равен 8 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $45^\circ$. Радиус основания конуса равен 8 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, R — радиус основания. Сечение конуса — это равнобедренный треугольник SAB, где SA и SB — образующие, а AB — хорда в основании конуса.

1) площадь образовавшегося сечения;

Площадь сечения, треугольника SAB, равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где SM — высота треугольника, опущенная на основание AB.

Сначала найдем длину хорды AB. В основании конуса рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где $OA = OB = R = 8$ см. Центральный угол $\angle AOB$ стягивает дугу в $120°$, следовательно, $\angle AOB = 120°$. По теореме косинусов для треугольника AOB:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120°)$

$AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 3 \cdot 64 = 192$

$AB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Далее найдем высоту сечения SM. Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Построим его. Пусть M — середина хорды AB. Тогда OM — медиана и высота в равнобедренном треугольнике AOB, значит $OM \perp AB$. SM — медиана и высота в равнобедренном треугольнике SAB, значит $SM \perp AB$. Следовательно, угол $\angle SMO$ и есть угол между плоскостями. По условию, $\angle SMO = 45°$.

Рассмотрим треугольник OMA в плоскости основания. Он прямоугольный ($\angle OMA = 90°$), $OA = 8$ см, $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120°}{2} = 60°$. Найдем длину катета OM:

$OM = OA \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник SOM. SO — высота конуса, поэтому $SO \perp OM$, и треугольник SOM — прямоугольный с прямым углом O. В нем мы знаем катет $OM = 4$ см и угол $\angle SMO = 45°$. Найдем высоту сечения SM (она является гипотенузой в $\triangle SOM$):

$SM = \frac{OM}{\cos(45°)} = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{6}$ см².

Ответ: $16\sqrt{6}$ см².

2) площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R=8$ см — радиус основания, а L — длина образующей.

Длину образующей L можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса H и радиус основания R. То есть, $L = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Высоту конуса $H = SO$ найдем из того же прямоугольного треугольника SOM:

$H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4 \cdot \tan(45°) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Теперь найдем длину образующей L:

$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 32\pi\sqrt{5}$ см².

Ответ: $32\pi\sqrt{5}$ см².