Номер 134, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 60°. Радиус основания конуса равен 16 см, а высота — 24 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Радиус основания конуса равен 16 см, а высота — 24 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $H=SO$ — высота конуса, а $R$ — радиус основания. По условию, $R = 16$ см и $H = 24$ см.

Сечение, проходящее через вершину $S$, пересекает основание по хорде, которую обозначим $AB$. Эта хорда стягивает дугу в $60°$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ в основании конуса. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами, то $OA = OB = R = 16$ см. Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный с углом при вершине $60°$, следовательно, он является равносторонним. Таким образом, длина хорды $AB$ также равна радиусу: $AB = 16$ см.

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его величина измеряется линейным углом, который мы построим. Для этого проведем высоту $OM$ в равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ из вершины $O$ к стороне $AB$. Так как $\triangle AOB$ равносторонний, $OM$ является также и медианой, и биссектрисой. Значит, $OM \perp AB$.

Треугольник сечения $\triangle SAB$ является равнобедренным, так как его стороны $SA$ и $SB$ — образующие конуса. Проведем в нем медиану $SM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Следовательно, $SM \perp AB$.

Поскольку $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Нам нужно найти величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (он прямоугольный, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и $OM$).

Катет $SO$ — это высота конуса, $SO = H = 24$ см.

Катет $OM$ — это высота в равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ со стороной $R = 16$ см. Найдем её длину по формуле высоты равностороннего треугольника $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника:

$OM = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная два катета в прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{24}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Таким образом, $\tan(\angle SMO) = \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60°$.

$\angle SMO = \arctan(\sqrt{3}) = 60°$.

Ответ: $60°$.