Номер 127, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а радиус основания — $R$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается боковой поверхности призмы.

127. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а радиус основания — $R$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается боковой поверхности призмы.

По условию задачи, цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Это означает, что основания цилиндра (окружности радиуса $R$) вписаны в основания призмы (правильные треугольники), а высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Боковая поверхность цилиндра касается трех боковых граней призмы по трем образующим.

Секущая плоскость проходит через две из этих трех образующих. Поскольку все образующие цилиндра параллельны между собой, данное сечение является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — расстоянию между двумя образующими, через которые проходит плоскость.

Чтобы найти расстояние между образующими, рассмотрим основание призмы и цилиндра в проекции на горизонтальную плоскость. Мы увидим правильный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$. Точки, в которых окружность касается сторон треугольника, являются основаниями искомых образующих. Обозначим центр окружности как $O$, а две точки касания как $K$ и $L$. Расстояние между образующими будет равно длине хорды $KL$.

Отрезки $OK$ и $OL$ — это радиусы, проведенные в точки касания, поэтому их длина равна $R$, и они перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Угол правильного треугольника между сторонами, которых касаются радиусы $OK$ и $OL$, равен $60^\circ$. Рассмотрим четырехугольник, образованный центром окружности $O$, вершиной треугольника и точками касания $K$ и $L$. Сумма углов в этом четырехугольнике равна $360^\circ$. Два угла при точках касания прямые ($90^\circ$), а угол при вершине треугольника равен $60^\circ$. Отсюда можно найти центральный угол $\angle KOL$, который стягивает хорду $KL$:

$\angle KOL = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $KOL$, в котором $OK = OL = R$ и угол между этими сторонами $\angle KOL = 120^\circ$. Длину хорды $KL$ можно найти по теореме косинусов:

$KL^2 = OK^2 + OL^2 - 2 \cdot OK \cdot OL \cdot \cos(\angle KOL)$

$KL^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$

Отсюда длина хорды $KL = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Это и есть ширина искомого прямоугольного сечения. Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон (высоты $H$ и ширины $KL$):

$S = H \cdot KL = H \cdot R\sqrt{3}$

Ответ: $RH\sqrt{3}$.