Номер 121, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем периметр основания призмы.

Поскольку призма правильная треугольная и вокруг нее описан цилиндр, ее основание (правильный треугольник) вписано в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности по условию равен $r$.

Сторона $a$ правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, связана с радиусом соотношением: $a = R\sqrt{3}$.

В нашем случае $R=r$, поэтому сторона основания призмы равна $a = r\sqrt{3}$.

Периметр основания призмы (правильного треугольника) равен: $P_{осн} = 3a = 3r\sqrt{3}$.

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ совпадает с высотой (образующей) описанного цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра $D = 2r$, а другая — его высоте $H$.

Угол $\beta$ — это угол между диагональю этого прямоугольника и его стороной, равной высоте $H$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания, тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета (диаметра $D$) к прилежащему катетету (высоте $H$):

$\tan(\beta) = \frac{D}{H} = \frac{2r}{H}$

Отсюда выразим высоту призмы:

$H = \frac{2r}{\tan(\beta)} = 2r \cot(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (3r\sqrt{3}) \cdot (2r \cot(\beta)) = 6\sqrt{3}r^2 \cot(\beta)$

Ответ: $6\sqrt{3}r^2 \cot(\beta)$