Номер 117, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

117. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a = 12$ см и $b = 16$ см. Так как цилиндр описан около параллелепипеда, его основание (круг) описано около основания параллелепипеда (прямоугольника). Это означает, что диаметр основания цилиндра равен диагонали прямоугольника в основании.

Найдем диагональ основания $d$ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда $h$. Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$. Этот угол является углом между диагональю $D$ и ее проекцией на плоскость основания, то есть диагональю $d$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим высоту $h$ (которая равна высоте цилиндра $H$):
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$
$H = h = d \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности. Формула может быть записана как $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R + H)$.

Подставим найденные значения $R = 10$ см и $H = 20\sqrt{3}$ см:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 10 (10 + 20\sqrt{3})$
Вынесем общий множитель 10 из скобок:
$S_{полн} = 20\pi \cdot 10(1 + 2\sqrt{3})$
$S_{полн} = 200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².

Ответ: $200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².