Номер 124, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Для решения задачи необходимо последовательно найти параметры основания призмы, затем высоту самой призмы и, наконец, используя эти данные, вычислить площадь боковой поверхности вписанного цилиндра.

1. Нахождение параметров основания призмы (равнобокой трапеции) и радиуса основания цилиндра

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, $BC = b = 9$ см, $AB = CD = c = 17$ см.

Так как в призму вписан цилиндр, это означает, что в ее основание (трапецию) можно вписать окружность. Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$AD + BC = AB + CD$$a + b = 2c$Подставив известные значения, найдем большее основание $a$:$a + 9 = 2 \cdot 17 = 34$$a = 34 - 9 = 25$ см.

Далее найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, вычисляется как полуразность оснований:$AH = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h_{тр} = BH$:$h_{тр}^2 = c^2 - AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$h_{тр} = \sqrt{225} = 15$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Основание вписанного цилиндра является этой окружностью. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен половине высоты трапеции:$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Квадрат диагонали прямой призмы ($D_{пр}$) равен сумме квадрата ее высоты ($H_{пр}$) и квадрата диагонали ее основания ($d_{осн}$): $D_{пр}^2 = H_{пр}^2 + d_{осн}^2$.По условию, диагональ призмы $D_{пр} = \sqrt{595}$ см, отсюда $D_{пр}^2 = 595$.

Найдем квадрат диагонали основания $d_{осн}^2$. Рассмотрим диагональ трапеции $AC$. Ее можно найти из прямоугольного треугольника $ACF$, где $CF$ — высота трапеции ($h_{тр} = 15$ см), а катет $AF$ равен:$AF = AD - FD = a - AH = 25 - 8 = 17$ см.По теореме Пифагора:$d_{осн}^2 = AC^2 = AF^2 + CF^2 = 17^2 + 15^2 = 289 + 225 = 514$.

Теперь мы можем найти высоту призмы $H_{пр}$:$H_{пр}^2 = D_{пр}^2 - d_{осн}^2 = 595 - 514 = 81$$H_{пр} = \sqrt{81} = 9$ см.Высота вписанного цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы, следовательно, $H_{цил} = 9$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2 \pi r H_{цил}$Подставим найденные значения радиуса $r = 7.5$ см и высоты $H_{цил} = 9$ см:$S_{бок} = 2 \pi \cdot 7.5 \cdot 9 = 15 \pi \cdot 9 = 135\pi$ см$^2$.

Ответ: $135\pi$ см$^2$.