Номер 126, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь этого сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы имеем соотношение:$S = 2r \cdot h$.

Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра $h$, а основание призмы (правильный шестиугольник) описано вокруг основания цилиндра (окружности радиуса $r$).

Рассмотрим вид сверху: окружность радиуса $r$ вписана в правильный шестиугольник. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности (который является апофемой шестиугольника) связан с его стороной $a$ следующей формулой:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из этой формулы выразим сторону шестиугольника $a$ через радиус $r$:$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{\text{бок}}$) вычисляется как произведение периметра её основания ($P_{\text{осн}}$) на высоту ($h$):$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$.

Периметр основания (правильного шестиугольника) равен $P_{\text{осн}} = 6a$. Подставим выражение для $a$:$P_{\text{осн}} = 6 \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{12r}{\sqrt{3}}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:$S_{\text{бок}} = \left(\frac{12r}{\sqrt{3}}\right) \cdot h = \frac{12rh}{\sqrt{3}}$.

Мы знаем, что $2rh = S$. Преобразуем выражение для $S_{\text{бок}}$, чтобы использовать это соотношение:$S_{\text{бок}} = \frac{6 \cdot (2rh)}{\sqrt{3}} = \frac{6S}{\sqrt{3}}$.

Чтобы упростить ответ, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S_{\text{бок}} = \frac{6S}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}S}{3} = 2\sqrt{3}S$.

Ответ: $2\sqrt{3}S$.