Номер 133, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Высота конуса равна $H$, а угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

133. Высота конуса равна $H$, а угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса $H$, а угол при вершине равен $2\alpha$. Высота $H$ делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
В каждом из этих прямоугольных треугольников:
- один катет — это высота конуса $H$;
- второй катет — это радиус основания конуса $R$;
- гипотенуза — это образующая конуса $L$.
Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике (между высотой $H$ и образующей $L$) равен половине угла осевого сечения, то есть $\alpha$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике выразим $R$ и $L$ через $H$ и $\alpha$:
Радиус $R$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, $\tan(\alpha) = \frac{R}{H}$, откуда $R = H \cdot \tan(\alpha)$.
Образующая $L$ является гипотенузой. Таким образом, $\cos(\alpha) = \frac{H}{L}$, откуда $L = \frac{H}{\cos(\alpha)}$.
Теперь подставим найденные выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi \cdot R \cdot L = \pi \cdot (H \cdot \tan(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi H^2 \tan(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, можно упростить выражение:
$S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\pi H^2 \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.
Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi H^2 \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.