Номер 128, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Поскольку призма является правильной четырёхугольной, в её основании лежит квадрат. Так как в призму вписан цилиндр, окружность основания цилиндра вписана в квадрат основания призмы, а высота цилиндра равна высоте $h$ призмы.

Сторона квадрата $a$, в который вписана окружность радиуса $R$, равна диаметру этой окружности.$a = 2R$.

Периметр основания призмы $P_{осн}$ равен сумме длин его сторон:$P_{осн} = 4a = 4 \cdot (2R) = 8R$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания цилиндра ($D = 2R$) и его высоте $h$. Диагональ этого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Это означает, что угол между диагональю и стороной сечения, равной диаметру, равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, высотой цилиндра $h$ (противолежащий катет) и диаметром основания $2R$ (прилежащий катет). Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan \alpha = \frac{h}{2R}$

Отсюда находим высоту призмы $h$:$h = 2R \tan \alpha$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты:$S_{бок} = 8R \cdot (2R \tan \alpha) = 16R^2 \tan \alpha$.

Ответ: $16R^2 \tan \alpha$.