Номер 135, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В основании конуса проведена хорда длиной $m$, которая видна из центра основания под углом $\alpha$. Найдите высоту конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

135. В основании конуса проведена хорда длиной $m$, которая видна из центра основания под углом $\alpha$. Найдите высоту конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. В основании конуса лежит круг с центром $O$. Проведена хорда $AB$ длиной $m$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. По условию, хорда $AB$ видна из центра основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Для нахождения радиуса $R$ проведем высоту $OK$ из точки $O$ на хорду $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OK$ также является медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $AOK$ — прямоугольный, и в нем:

• $AK = \frac{AB}{2} = \frac{m}{2}$
• $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Из прямоугольного треугольника $AOK$ по определению синуса имеем:
$\sin(\angle AOK) = \frac{AK}{OA} \implies \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{m/2}{R}$
Отсюда выражаем радиус основания $R$:
$R = \frac{m}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, его образующей и радиусом основания $R$. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом треугольнике данный угол $\beta$ является углом между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом).

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$
Отсюда находим высоту $H$:
$H = R \cdot \tan(\beta)$

Подставим в полученное выражение для высоты найденное ранее значение радиуса $R$:
$H = \left( \frac{m}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \right) \cdot \tan(\beta) = \frac{m \tan(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{m \tan(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$