Номер 139, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $α$, проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $β$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

139. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $L$ — длина образующей конуса, а $R$ — радиус его основания. Площадь боковой поверхности конуса, которую нам нужно найти, вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R L$

Рассмотрим сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими длиной $L$ и хордой в основании. Угол между образующими равен $\alpha$. Площадь этого треугольника $S$ задана и равна:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \sin(\alpha) = \frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить квадрат длины образующей:

$L^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем радиус основания $R$. Пусть $P$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, а $A$ и $B$ — точки на окружности основания, через которые проходят образующие. Сечение — это треугольник $PAB$. Угол между плоскостью сечения $(PAB)$ и плоскостью основания $(OAB)$ равен $\beta$.

Проведем высоту $PM$ в треугольнике $PAB$. Так как треугольник $PAB$ равнобедренный ($PA=PB=L$), высота $PM$ является также медианой и биссектрисой. Точка $M$ — середина хорды $AB$.

Отрезок $OM$ в плоскости основания перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, угол между плоскостями сечения и основания — это линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями с общей прямой $AB$. Таким углом является $\angle PMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. По теореме Пифагора $OA^2 = OM^2 + AM^2$, где $OA = R$. Таким образом:

$R^2 = OM^2 + AM^2$

Найдем $AM$ и $OM$. В треугольнике $PAB$ высота $PM$ делит угол $\alpha$ пополам. В прямоугольном треугольнике $PMA$:

$AM = L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$PM = L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь в прямоугольном треугольнике $PMO$ (с прямым углом $O$):

$OM = PM \cos(\beta) = L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos(\beta)$

Подставим выражения для $AM$ и $OM$ в формулу для $R^2$:

$R^2 = \left(L \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos(\beta)\right)^2 + \left(L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2$

$R^2 = L^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta) + L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$R^2 = L^2 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Теперь найдем искомую площадь боковой поверхности. Удобнее сначала найти ее квадрат:

$S_{бок}^2 = (\pi R L)^2 = \pi^2 R^2 L^2$

Подставим найденные выражения для $R^2$ и $L^2$:

$S_{бок}^2 = \pi^2 \left( L^2 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right) \right) L^2$

$S_{бок}^2 = \pi^2 L^4 \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Заменим $L^4 = (L^2)^2 = \left(\frac{2S}{\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{4S^2}{\sin^2(\alpha)}$:

$S_{бок}^2 = \pi^2 \frac{4S^2}{\sin^2(\alpha)} \left(\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)\right)$

Извлечем квадратный корень:

$S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2(\beta)}$

Выражение под корнем можно упростить, используя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta)$.

$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) (1 - \sin^2(\beta)) = \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta) = 1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)$

Тогда окончательная формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)}$

Ответ: $ \frac{2\pi S}{\sin(\alpha)} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2(\beta)} $