Номер 144, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

144. Прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b$. Следовательно, $AC = b$ и $\angle CAB = \alpha$.

При вращении этого треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу AB, образуется тело, состоящее из двух конусов, имеющих общее основание. Вершина первого конуса находится в точке A, а вершина второго — в точке B.

Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

1. Найдём параметры конусов.

Образующими конусов являются катеты треугольника AC и BC. Образующая первого конуса (с вершиной A): $l_1 = AC = b$.

Найдём длину второго катета BC из треугольника ABC: $ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{b} $ Отсюда, образующая второго конуса (с вершиной B): $l_2 = BC = b \cdot \tan(\alpha)$.

Радиус общего основания $R$ обоих конусов равен высоте $h$, проведённой из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (где H — основание высоты на гипотенузе). В этом треугольнике гипотенуза $AC = b$, а угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{AC} = \frac{R}{b} $ Отсюда, радиус основания: $R = b \cdot \sin(\alpha)$.

2. Вычислим площади боковых поверхностей.

Площадь боковой поверхности первого конуса: $ S_1 = \pi R l_1 = \pi (b \sin(\alpha)) b = \pi b^2 \sin(\alpha) $

Площадь боковой поверхности второго конуса: $ S_2 = \pi R l_2 = \pi (b \sin(\alpha)) (b \tan(\alpha)) = \pi b^2 \sin(\alpha) \tan(\alpha) $

3. Найдём общую площадь поверхности.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$: $ S = S_1 + S_2 = \pi b^2 \sin(\alpha) + \pi b^2 \sin(\alpha) \tan(\alpha) $

Вынесем общий множитель $ \pi b^2 \sin(\alpha) $ за скобки для упрощения выражения: $ S = \pi b^2 \sin(\alpha) (1 + \tan(\alpha)) $

Ответ: $ S = \pi b^2 \sin(\alpha) (1 + \tan(\alpha)) $.