Номер 145, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а угол при вершине — $120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а угол при вершине — $120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию, $AC = 12$ см, а угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону, например, $AB$.

Тело вращения, полученное в результате такого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание.

• Первый конус образуется вращением стороны $BC$ вокруг оси $AB$.
• Второй конус образуется вращением основания $AC$ вокруг оси $AB$.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

1. Нахождение параметров треугольника.

Сначала найдем углы при основании треугольника. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Теперь найдем длину боковой стороны $BC$ (и $AB$) по теореме синусов:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$
$\frac{12}{\sin(120^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}$
$BC = 12 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = 12 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Итак, боковые стороны $AB = BC = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение параметров конусов.

Радиусом общего основания двух конусов является высота $CH$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$. Эту высоту можно найти из треугольника $ABC$, рассмотрев сторону $AC$ и угол $\angle BAC$.
$CH = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Таким образом, для обоих конусов радиус основания $r = CH = 6$ см.

Образующие конусов — это стороны треугольника, которые вращаются:

• Образующая первого конуса: $l_1 = BC = 4\sqrt{3}$ см.
• Образующая второго конуса: $l_2 = AC = 12$ см.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь боковой поверхности первого конуса (образованного вращением $BC$):
$S_1 = \pi \cdot r \cdot l_1 = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности второго конуса (образованного вращением $AC$):
$S_2 = \pi \cdot r \cdot l_2 = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих конусов:
$S = S_1 + S_2 = 24\pi\sqrt{3} + 72\pi = 24\pi(\sqrt{3} + 3)$ см$^2$.

Ответ: $24\pi(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.