Номер 152, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $45^{\circ}$, высота усечённого конуса — 4 см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{26}$ см. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

152. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $45^\circ$, высота усечённого конуса — $4$ см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{26}$ см. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим радиусы большего и меньшего оснований как $R$ и $r$ соответственно, высоту конуса как $h$, а диагональ осевого сечения как $d$.

По условию задачи нам даны:

• Высота $h = 4$ см.
• Диагональ осевого сечения $d = 4\sqrt{26}$ см.
• Угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 45^\circ$.

1. Нахождение разности радиусов

Проведём высоту в трапеции из вершины меньшего основания на большее. Мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота конуса $h$ и отрезок, равный разности радиусов оснований $(R-r)$. Гипотенузой будет образующая конуса $l$. Угол между образующей и большим основанием — это угол между гипотенузой и катетом $(R-r)$, и он равен $45^\circ$.

Так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:

$R - r = h$

Подставляя значение высоты, получаем первое уравнение:

$R - r = 4$

2. Нахождение суммы радиусов

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения $d$ (гипотенуза), высотой конуса $h$ (катет) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого отрезка равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (R+r)^2$

Подставим известные значения в формулу:

$(4\sqrt{26})^2 = 4^2 + (R+r)^2$

$16 \cdot 26 = 16 + (R+r)^2$

$416 = 16 + (R+r)^2$

$(R+r)^2 = 416 - 16$

$(R+r)^2 = 400$

$R+r = \sqrt{400}$

$R+r = 20$ (так как сумма радиусов должна быть положительной)

Мы получили второе уравнение: $R+r = 20$.

3. Решение системы уравнений и нахождение радиусов

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} R - r = 4 \\ R + r = 20 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(R - r) + (R + r) = 4 + 20$

$2R = 24$

$R = 12$ см.

Теперь подставим найденное значение $R$ в любое из уравнений, например, во второе:

$12 + r = 20$

$r = 20 - 12$

$r = 8$ см.

Ответ: радиус большего основания равен 12 см, радиус меньшего основания равен 8 см.