Номер 154, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Площади оснований усечённого конуса равны $9 \text{ см}^2$ и $25 \text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

154. Площади оснований усечённого конуса равны 9 $ \text{см}^2 $ и 25 $ \text{см}^2 $. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_с$ — площадь искомого сечения. Радиусы соответствующих кругов в основаниях и в сечении обозначим как $r_1$, $r_2$ и $r_с$.

Площадь круга связана с его радиусом формулой $S = \pi r^2$, из которой следует, что радиус можно выразить через площадь как $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиус сечения конуса, параллельного основанию, является линейной функцией высоты. Так как сечение проведено через середину высоты усечённого конуса, его радиус $r_с$ равен среднему арифметическому радиусов оснований:

$r_с = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Площадь этого сечения $S_с$ равна:

$S_с = \pi r_с^2 = \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right)^2$

Чтобы найти $S_с$, можно выразить её через площади оснований $S_1$ и $S_2$. Для этого подставим выражения для радиусов $r_1 = \sqrt{S_1/\pi}$ и $r_2 = \sqrt{S_2/\pi}$ в формулу для $S_с$:

$S_с = \pi \left( \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})/\sqrt{\pi}}{2} \right)^2$

Упростив это выражение, получим общую формулу:

$S_с = \pi \cdot \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4\pi} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Теперь подставим в эту формулу заданные в условии значения площадей оснований: $S_1 = 9 \text{ см}^2$ и $S_2 = 25 \text{ см}^2$.

Найдём квадратные корни из площадей:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$

Вычислим площадь сечения:

$S_с = \frac{(3 + 5)^2}{4} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16 \text{ см}^2$

Ответ: 16 см².