Страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Площади оснований усечённого конуса равны $9 \text{ см}^2$ и $25 \text{ см}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

154. Площади оснований усечённого конуса равны 9 $ \text{см}^2 $ и 25 $ \text{см}^2 $. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основаниям. Найдите площадь этого сечения.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_с$ — площадь искомого сечения. Радиусы соответствующих кругов в основаниях и в сечении обозначим как $r_1$, $r_2$ и $r_с$.

Площадь круга связана с его радиусом формулой $S = \pi r^2$, из которой следует, что радиус можно выразить через площадь как $r = \sqrt{S/\pi}$.

Радиус сечения конуса, параллельного основанию, является линейной функцией высоты. Так как сечение проведено через середину высоты усечённого конуса, его радиус $r_с$ равен среднему арифметическому радиусов оснований:

$r_с = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Площадь этого сечения $S_с$ равна:

$S_с = \pi r_с^2 = \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right)^2$

Чтобы найти $S_с$, можно выразить её через площади оснований $S_1$ и $S_2$. Для этого подставим выражения для радиусов $r_1 = \sqrt{S_1/\pi}$ и $r_2 = \sqrt{S_2/\pi}$ в формулу для $S_с$:

$S_с = \pi \left( \frac{\sqrt{S_1/\pi} + \sqrt{S_2/\pi}}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})/\sqrt{\pi}}{2} \right)^2$

Упростив это выражение, получим общую формулу:

$S_с = \pi \cdot \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4\pi} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Теперь подставим в эту формулу заданные в условии значения площадей оснований: $S_1 = 9 \text{ см}^2$ и $S_2 = 25 \text{ см}^2$.

Найдём квадратные корни из площадей:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$

Вычислим площадь сечения:

$S_с = \frac{(3 + 5)^2}{4} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16 \text{ см}^2$

Ответ: 16 см².

155. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны, а его образующая равна $m$ и наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

155. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны, а его образующая равна $m$ и наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Обозначим радиусы оснований конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), а образующую — $m$. Высота усеченного конуса (и трапеции) равна $h$. Основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть их длины равны $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей $m$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)m$

Для решения задачи нам необходимо найти сумму радиусов $R + r$, так как образующая $m$ дана по условию.

Согласно условию, образующая $m$ наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. В осевом сечении это угол между боковой стороной трапеции и ее большим основанием. Если опустить высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является образующая $m$, а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — высота $h$. Из этого треугольника находим соотношение:

$h = m \cdot \sin(\alpha)$

Также в условии сказано, что диагонали осевого сечения перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота равна полусумме ее оснований. Основания нашей трапеции равны $2R$ и $2r$. Таким образом, высота $h$ равна:

$h = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

Теперь у нас есть два выражения для высоты $h$. Приравнивая их, получаем:

$R + r = m \sin(\alpha)$

Подставим найденное выражение для суммы радиусов $(R + r)$ в формулу площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R + r)m = \pi (m \sin(\alpha)) m = \pi m^2 \sin(\alpha)$

Ответ: $\pi m^2 \sin(\alpha)$.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 8$ см, $CD = 10$ см, $BC = 5$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

156. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 8$ см, $CD = 10$ см, $BC = 5$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг боковой стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усеченный конус.

Параметры образовавшегося усеченного конуса:

• Высота конуса $h$ равна стороне $AB$, то есть $h = 8$ см.
• Радиус меньшего основания $r$ равен основанию трапеции $BC$, то есть $r = 5$ см.
• Образующая конуса $l$ равна боковой стороне $CD$, то есть $l = 10$ см.
• Радиус большего основания $R$ равен основанию трапеции $AD$.

Для вычисления площади боковой поверхности необходимо найти радиус большего основания $R = AD$. Для этого опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$.

Так как трапеция прямоугольная ($AB \perp AD$) и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником. Следовательно, $AH = BC = 5$ см, а $CH = AB = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем катет $HD$:
$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания $AD$, которое является радиусом $R$:
$R = AD = AH + HD = 5 + 6 = 11$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi (R + r) l$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \pi (11 + 5) \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противоположащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противоположащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($∠C = 90^\circ$). По условию, катет, противолежащий углу $β$, равен $b$. Пусть $∠B = β$, тогда противолежащий ему катет $AC = b$.Найдем остальные стороны треугольника, используя тригонометрические соотношения:Второй катет $BC$ (обозначим его $a$):$a = BC = \frac{AC}{\tan(β)} = \frac{b}{\tan(β)} = b \cot(β)$.Гипотенуза $AB$ (обозначим ее $c$):$c = AB = \frac{AC}{\sin(β)} = \frac{b}{\sin(β)}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину $B$ и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Для нахождения площади поверхности тела вращения введем систему координат. Поместим вершину $B$ в начало координат $(0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль гипотенузы $AB$, а ось вращения $l$ — вдоль оси $Oy$.В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $B = (0, 0)$
• $A = (c, 0) = (\frac{b}{\sin(β)}, 0)$

Для нахождения координат вершины $C$ учтем, что отрезок $BC$ имеет длину $a = b \cot(β)$ и образует с отрезком $BA$ (положительным направлением оси $Ox$) угол $β$. Таким образом, координаты точки $C$ равны:$C = (a \cos(β), a \sin(β)) = (b \cot(β) \cos(β), b \cot(β) \sin(β)) = (\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$.

Тело вращения образуется при вращении площади треугольника $ABC$ вокруг оси $Oy$. Поверхность этого тела состоит из трех частей, образованных вращением каждой из сторон треугольника:

1. Поверхность, образованная вращением гипотенузы $AB$.
2. Поверхность, образованная вращением катета $BC$.
3. Поверхность, образованная вращением катета $AC$.

Площадь полной поверхности тела вращения будет суммой площадей этих трех поверхностей.

1. Площадь поверхности, образованной вращением гипотенузы $AB$ ($S_{AB}$)
Отрезок $AB$ лежит на оси $Ox$ и соединяет начало координат с точкой $A(\frac{b}{\sin(β)}, 0)$. При вращении вокруг оси $Oy$ этот отрезок описывает круг (диск) с радиусом $R_{AB} = c = \frac{b}{\sin(β)}$. Площадь этого круга:$S_{AB} = π R_{AB}^2 = π (\frac{b}{\sin(β)})^2 = \frac{π b^2}{\sin^2(β)}$.

2. Площадь поверхности, образованной вращением катета $BC$ ($S_{BC}$)
Отрезок $BC$ соединяет начало координат $B(0,0)$ с точкой $C(\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса равен абсциссе точки $C$, а образующая — длине отрезка $BC$.Радиус основания $r_C = x_C = \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}$.Длина образующей $l_{BC} = a = b \cot(β)$.Площадь боковой поверхности конуса:$S_{BC} = π r_C l_{BC} = π \cdot \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)} \cdot b \cot(β) = π \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)} \frac{b \cos(β)}{\sin(β)} = \frac{π b^2 \cos^3(β)}{\sin^2(β)}$.

3. Площадь поверхности, образованной вращением катета $AC$ ($S_{AC}$)
Отрезок $AC$ соединяет точки $A(\frac{b}{\sin(β)}, 0)$ и $C(\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек $A$ и $C$, а образующая — длине отрезка $AC$.Радиусы оснований: $r_A = x_A = \frac{b}{\sin(β)}$ и $r_C = x_C = \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}$.Длина образующей $l_{AC} = b$.Площадь боковой поверхности усеченного конуса:$S_{AC} = π (r_A + r_C) l_{AC} = π (\frac{b}{\sin(β)} + \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}) \cdot b = \frac{π b^2}{\sin(β)} (1 + \cos^2(β))$.

Общая площадь поверхности тела вращения
Общая площадь $S$ равна сумме площадей трех найденных поверхностей:$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{AC}$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} + \frac{π b^2 \cos^3(β)}{\sin^2(β)} + \frac{π b^2(1 + \cos^2(β))}{\sin(β)}$Приведем все слагаемые к общему знаменателю $\sin^2(β)$:$S = \frac{π b^2 + π b^2 \cos^3(β) + π b^2(1 + \cos^2(β))\sin(β)}{\sin^2(β)}$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} [1 + \cos^3(β) + (1 + \cos^2(β))\sin(β)]$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} [1 + \cos^3(β) + \sin(β) + \sin(β)\cos^2(β)]$

Ответ: $S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} (1 + \sin(β) + \cos^3(β) + \sin(β)\cos^2(β))$

158. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а высота — $\sqrt{17}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

158. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а высота — $\sqrt{17}$ см. Найдите образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Поскольку конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Высота конуса равна высоте пирамиды, то есть $h = \sqrt{17}$ см.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около квадрата, который является основанием пирамиды. Радиус описанной окружности для квадрата равен половине его диагонали.

Найдём диагональ $d$ квадрата со стороной $a = 8$ см по формуле $d = a\sqrt{2}$:
$d = 8\sqrt{2}$ см.

Тогда радиус основания конуса равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + R^2$
Подставим известные значения:
$l^2 = (\sqrt{17})^2 + (4\sqrt{2})^2$
$l^2 = 17 + 16 \cdot 2$
$l^2 = 17 + 32$
$l^2 = 49$
$l = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

159. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол ($30^\circ$), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около ее основания. Основанием пирамиды является прямоугольник, а центром описанной около него окружности является точка пересечения диагоналей. Конус, описанный около пирамиды, будет иметь ту же вершину и высоту, а его основанием будет круг, описанный около прямоугольника.

Радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника. Найдем диагональ $d$ прямоугольника со сторонами $a = 18$ см и $b = 24$ см по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.
Следовательно, радиус $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Высоту конуса $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и боковым ребром пирамиды. В этом треугольнике угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом) равен $30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу, а радиус $R$ — прилежащим катетом. Тогда:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R}$
$H = R \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота — высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Подставим найденные значения $R$ и $H$ для вычисления площади:
$S = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $75\sqrt{3} \text{ см}^2$.

160. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

160. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC. Сторона основания $AB = BC = CA = a$. Так как пирамида правильная, ее вершина S проецируется в центр O основания, который является центром вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника ABC. Высота пирамиды – это отрезок SO.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину S и то же основание, что и пирамида. Основанием конуса является круг, описанный около треугольника ABC. Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

Найдем радиус основания конуса $R$ и его высоту $H$.

1. Нахождение радиуса основания конуса R.
Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Нахождение высоты конуса H.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$. Двугранный угол при ребре основания равен $\alpha$. Это угол между боковой гранью (например, SBC) и плоскостью основания (ABC).
Проведем апофему SM боковой грани SBC (M – середина BC). Так как треугольник SBC равнобедренный ($SB = SC$), то $SM \perp BC$. Также проведем отрезок OM. OM является радиусом вписанной в основание окружности. В равностороннем треугольнике высота AM также является медианой, поэтому $AM \perp BC$. Так как O лежит на AM, то $OM \perp BC$.
Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре BC, и по условию $\angle SMO = \alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет OM – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ его радиус равен:

$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из треугольника SOM найдем высоту $H = SO$ через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$.

3. Вычисление площади осевого сечения конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = R \cdot H = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 6} \tan(\alpha) = \frac{3a^2}{18} \tan(\alpha) = \frac{a^2}{6} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\frac{a^2}{6} \tan(\alpha)$.