Страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 7). Найдите отрезок $AB$, если $OB = m$, $\angle AOB = \gamma$.

Рис. 7

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 7). Найдите отрезок $AB$, если $OB = m$, $\angle AOB = \gamma$.

Рис. 7

Согласно условию, плоскость α касается шара с центром в точке O в точке A. По свойству касательной плоскости к шару, радиус, проведенный в точку касания (OA), перпендикулярен касательной плоскости. Таким образом, $OA \perp \alpha$.

Так как точка B лежит в плоскости α, то и отрезок AB целиком лежит в этой плоскости. Поскольку прямая OA перпендикулярна плоскости α, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Следовательно, $OA \perp AB$.

Это означает, что треугольник ▵AOB является прямоугольным, в котором ∠OAB = 90°. В этом треугольнике $OB$ является гипотенузой ($OB = m$), а $AB$ — катетом, противолежащим углу $\angle AOB = \gamma$.

Для нахождения длины катета AB воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} $.

Подставляя известные значения $OB = m$ и $\angle AOB = \gamma$ в формулу, получаем: $ \sin(\gamma) = \frac{AB}{m} $.

Выразим из этого равенства искомую длину отрезка AB: $ AB = m \cdot \sin(\gamma) $.

Ответ: $m \sin(\gamma)$.

189. К сфере радиуса 8 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку А на расстоянии 6 см от точки касания. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы и расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы.

189. К сфере радиуса 8 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку А на расстоянии 6 см от точки касания. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы и расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, а $T$ — точка касания. Согласно условию задачи, радиус сферы $R = OT = 8$ см. Точка $A$ находится в касательной плоскости на расстоянии $AT = 6$ см от точки касания.

По свойству касательной плоскости, радиус, проведённый в точку касания ($OT$), перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, отрезок $OT$ перпендикулярен отрезку $AT$, который лежит в данной плоскости. Это означает, что треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным, где $\angle OTA = 90^\circ$.

Применим теорему Пифагора для нахождения расстояния от точки $A$ до центра сферы $O$, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle OTA$: $OA^2 = OT^2 + AT^2$ $OA^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $OA = \sqrt{100} = 10$ см.

Ближайшая к $A$ точка сферы и наиболее удалённая от неё точка лежат на прямой, проходящей через точку $A$ и центр сферы $O$.

расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы

Чтобы найти расстояние до ближайшей точки на сфере, необходимо из расстояния от точки $A$ до центра сферы ($OA$) вычесть радиус сферы ($R$). $d_{min} = OA - R = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы

Чтобы найти расстояние до наиболее удалённой точки на сфере, необходимо к расстоянию от точки $A$ до центра сферы ($OA$) прибавить радиус сферы ($R$). $d_{max} = OA + R = 10 + 8 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $D(-5; 4; 5)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $D(-5; 4; 5)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

По условию, сфера касается каждой из координатных плоскостей ($xy$, $xz$, $yz$). Координатные плоскости задаются уравнениями $z=0$, $y=0$ и $x=0$ соответственно. Расстояние от центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ до этих плоскостей равно $|z_0|$, $|y_0|$ и $|x_0|$. Поскольку сфера касается этих плоскостей, эти расстояния должны быть равны радиусу $R$. Таким образом, мы получаем условие: $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $D(-5; 4; 5)$. Эта точка находится в октанте, где $x < 0$, $y > 0$, $z > 0$. Так как сфера касается координатных плоскостей, она не может их пересекать, а значит, её центр должен находиться в том же октанте, что и точка $D$. Следовательно, знаки координат центра должны быть такими же: $x_0 < 0$, $y_0 > 0$, $z_0 > 0$.

Учитывая, что $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$, получаем координаты центра: $x_0 = -R$, $y_0 = R$, $z_0 = R$. Таким образом, центр сферы имеет координаты $(-R, R, R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы:$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$$(x + R)^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$

Теперь подставим координаты точки $D(-5; 4; 5)$ в это уравнение, так как точка $D$ принадлежит сфере:$(-5 + R)^2 + (4 - R)^2 + (5 - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $R$:$(25 - 10R + R^2) + (16 - 8R + R^2) + (25 - 10R + R^2) = R^2$$66 - 28R + 3R^2 = R^2$$2R^2 - 28R + 66 = 0$Разделим уравнение на 2:$R^2 - 14R + 33 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 14, а их произведение — 33. Корнями являются числа 3 и 11.$R_1 = 3$, $R_2 = 11$.

Мы получили два возможных значения для радиуса, что означает, что существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Если $R = 3$, то центр сферы находится в точке $(-3, 3, 3)$, и уравнение сферы:$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 3^2$$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

2. Если $R = 11$, то центр сферы находится в точке $(-11, 11, 11)$, и уравнение сферы:$(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 11^2$$(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 121$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$ или $(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 121$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ в точке $B (4; -2; 6)$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ в точке $B(4; -2; 6).$

Уравнение сферы представлено в каноническом виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Из заданного уравнения сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ определим координаты её центра. Центр сферы находится в точке $C(6; -3; 8)$.

Плоскость, касающаяся сферы в некоторой точке, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Это означает, что вектор, проведенный из центра сферы $C$ в точку касания $B$, будет вектором нормали $\vec{n}$ для искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{CB}$:

$\vec{n} = \vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (4 - 6; -2 - (-3); 6 - 8) = (-2; 1; -2)$.

Теперь у нас есть вектор нормали $\vec{n}(-2; 1; -2)$ и точка $B(4; -2; 6)$, через которую проходит плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $B$ и вектора нормали $\vec{n}$ в это уравнение:

$-2(x - 4) + 1(y - (-2)) - 2(z - 6) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2x + 8 + y + 2 - 2z + 12 = 0$

$-2x + y - 2z + 22 = 0$

Для более стандартного вида умножим уравнение на $-1$:

$2x - y + 2z - 22 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $2x - y + 2z - 22 = 0$

192. Радиус шара равен 5 см. Шар касается всех сторон квадрата со стороной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата.

192. Радиус шара равен 5 см. Шар касается всех сторон квадрата со стороной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата.

Пусть $O$ — центр шара, $R$ — его радиус, равный 5 см. Пусть квадрат лежит в плоскости $\alpha$ и имеет сторону $a = 6$ см. Нам нужно найти расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.

Обозначим искомое расстояние как $h$. Это длина перпендикуляра $OP$, опущенного из центра шара $O$ на плоскость квадрата $\alpha$.

Поскольку шар касается всех сторон квадрата, из соображений симметрии следует, что проекция центра шара на плоскость квадрата совпадает с центром симметрии квадрата, то есть с точкой пересечения его диагоналей $P$. Таким образом, $OP \perp \alpha$ и $|OP| = h$.

Рассмотрим любую сторону квадрата, например, $AB$, и точку касания шара с этой стороной — точку $K$. Отрезок $OK$ соединяет центр шара с точкой касания, следовательно, $OK$ является радиусом шара, и $|OK| = R = 5$ см. Также радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK \perp AB$.

Рассмотрим отрезки в плоскости квадрата. Отрезок $PK$ соединяет центр квадрата $P$ с точкой $K$ на стороне $AB$. Так как $P$ — центр квадрата, расстояние от него до любой стороны одинаково и равно половине длины стороны. Точка $K$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, длина отрезка $PK$ равна:
$|PK| = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OPK$. Так как $OP$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $PK$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $P$, то $OP \perp PK$. Это означает, что треугольник $\triangle OPK$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $P$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OPK$:
- Гипотенуза $OK$ равна радиусу шара: $|OK| = 5$ см.
- Катет $PK$ равен расстоянию от центра квадрата до его стороны: $|PK| = 3$ см.
- Катет $OP$ равен искомому расстоянию $h$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$|OK|^2 = |OP|^2 + |PK|^2$
$5^2 = h^2 + 3^2$
$25 = h^2 + 9$
$h^2 = 25 - 9$
$h^2 = 16$
$h = \sqrt{16} = 4$ см (так как расстояние не может быть отрицательным).

Ответ: 4 см.

193. Стороны треугольника равны 26 см, 28 см и 30 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно 6 см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 26 см, 28 см и 30 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно 6 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Пусть данный треугольник лежит в плоскости $\alpha$. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. По условию, $h = OH = 6$ см.

Поскольку шар касается всех сторон треугольника, его центр $O$ равноудален от этих сторон. Проекция центра шара на плоскость треугольника, точка $H$, также будет равноудалена от сторон треугольника. Это означает, что точка $H$ является центром окружности, вписанной в треугольник.

Пусть $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности. Тогда расстояние от точки $H$ до любой из сторон треугольника равно $r$. Пусть $K$ — точка касания шара с одной из сторон треугольника. Тогда $OK$ — это радиус шара $R$, и $OK$ перпендикулярен этой стороне. Отрезок $HK$ — это радиус вписанной окружности $r$, и $HK$ также перпендикулярен этой стороне.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHK$. Его катеты — это $OH = h = 6$ см и $HK = r$, а гипотенуза — $OK = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$

Чтобы найти радиус шара $R$, нам нужно сначала вычислить радиус вписанной в треугольник окружности $r$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности ($r$)

Стороны треугольника равны $a = 26$ см, $b = 28$ см, $c = 30$ см. Радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}$
$S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$
Разложим числа под корнем на множители для удобства вычисления:
$S = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6^2 \cdot 7^2}$
$S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 7 = 8 \cdot 42 = 336$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8$ см.

2. Нахождение радиуса шара ($R$)

Мы нашли радиус вписанной окружности $r = 8$ см. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника дано в условии $h = 6$ см. Теперь мы можем найти радиус шара $R$, используя выведенную ранее формулу: $R = \sqrt{h^2 + r^2}$
$R = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$R = \sqrt{36 + 64}$
$R = \sqrt{100}$
$R = 10$ см.

Ответ: 10 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — 45°. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

Пусть дан шар с центром $O$ и радиусом $R$, который касается всех сторон равнобокой трапеции. Плоскость трапеции пересекает шар по большому кругу, только если центр шара лежит в этой плоскости. В общем случае, проекция центра шара на плоскость трапеции является центром окружности, вписанной в эту трапецию.

Пусть $P$ — центр вписанной в трапецию окружности, а $r$ — ее радиус. Точка $P$ является проекцией центра шара $O$ на плоскость трапеции. Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина отрезка $OP$. По условию, $OP = 2\sqrt{7}$ см.Пусть $K$ — точка касания шара одной из сторон трапеции. Тогда отрезок $OK$ является радиусом шара $R$, а отрезок $PK$ — радиусом вписанной окружности $r$. Треугольник $\triangle OPK$ является прямоугольным с гипотенузой $OK$.

По теореме Пифагора, мы можем связать радиус шара $R$, радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости трапеции $OP$:$R^2 = OP^2 + r^2$

Для нахождения $R$ нам нужно сначала вычислить $r$.

Нахождение радиуса окружности, вписанной в трапецию
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты. Обозначим высоту трапеции как $h$. Тогда $r = \frac{h}{2}$.Дана равнобокая трапеция с боковой стороной $c = 8$ см и острым углом при основании $\alpha = 45^\circ$.Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из катетов — высота трапеции $h$. Угол, противолежащий катету $h$, равен $\alpha$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$$h = c \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Нахождение радиуса шара
Теперь мы можем вычислить радиус шара $R$, используя найденное значение $r = 2\sqrt{2}$ см и данное по условию значение $OP = 2\sqrt{7}$ см.Подставим значения в формулу теоремы Пифагора:$R^2 = OP^2 + r^2$$R^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2$$R^2 = (4 \cdot 7) + (4 \cdot 2) = 28 + 8 = 36$$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: $6$ см.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 2 см. Радиус шара равен $2\sqrt{3}$ см, а расстояние от центра шара до плоскости одного из сечений равно $2\sqrt{2}$ см. Найдите радиусы сечений.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 2 см. Радиус шара равен $2\sqrt{3}$ см, а расстояние от центра шара до плоскости одного из сечений равно $2\sqrt{2}$ см. Найдите радиусы сечений.

Пусть $R = 2\sqrt{3}$ см — радиус шара, а $AB = 2$ см — общая хорда двух перпендикулярных сечений. Пусть $r_1$ и $r_2$ — искомые радиусы сечений, а $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей этих сечений. По условию, одно из этих расстояний равно $2\sqrt{2}$ см. Примем, что $d_1 = 2\sqrt{2}$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r_1$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d_1$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:$R^2 = d_1^2 + r_1^2$Выразим квадрат радиуса сечения:$r_1^2 = R^2 - d_1^2$Подставим известные значения:$r_1^2 = (2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = 12 - 8 = 4$ см$^2$.Отсюда находим радиус:$r_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Для нахождения $r_2$ сначала необходимо определить расстояние $d_2$ от центра шара до плоскости второго сечения.Пусть $O$ — центр шара, а $M$ — середина общей хорды $AB$. Тогда $AM = \frac{1}{2}AB = 1$ см. Расстояние от центра шара до хорды $AB$ равно длине отрезка $OM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$, где гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. По теореме Пифагора:$OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - AM^2 = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 12 - 1 = 11$ см$^2$.

Так как плоскости сечений перпендикулярны, квадрат расстояния от центра шара до их линии пересечения (на которой лежит хорда $AB$) равен сумме квадратов расстояний от центра шара до этих плоскостей:$OM^2 = d_1^2 + d_2^2$Подставим известные значения и найдем $d_2^2$:$11 = (2\sqrt{2})^2 + d_2^2$$11 = 8 + d_2^2$$d_2^2 = 11 - 8 = 3$ см$^2$.

Теперь, зная $d_2^2$, можем найти $r_2$ по аналогии с первым сечением:$R^2 = d_2^2 + r_2^2$$r_2^2 = R^2 - d_2^2 = (2\sqrt{3})^2 - 3 = 12 - 3 = 9$ см$^2$.$r_2 = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.