Номер 194, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — 45°. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — $45^\circ$. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра до плоскости трапеции равно $2\sqrt{7}$ см.

Пусть дан шар с центром $O$ и радиусом $R$, который касается всех сторон равнобокой трапеции. Плоскость трапеции пересекает шар по большому кругу, только если центр шара лежит в этой плоскости. В общем случае, проекция центра шара на плоскость трапеции является центром окружности, вписанной в эту трапецию.

Пусть $P$ — центр вписанной в трапецию окружности, а $r$ — ее радиус. Точка $P$ является проекцией центра шара $O$ на плоскость трапеции. Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина отрезка $OP$. По условию, $OP = 2\sqrt{7}$ см.Пусть $K$ — точка касания шара одной из сторон трапеции. Тогда отрезок $OK$ является радиусом шара $R$, а отрезок $PK$ — радиусом вписанной окружности $r$. Треугольник $\triangle OPK$ является прямоугольным с гипотенузой $OK$.

По теореме Пифагора, мы можем связать радиус шара $R$, радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра шара до плоскости трапеции $OP$:$R^2 = OP^2 + r^2$

Для нахождения $R$ нам нужно сначала вычислить $r$.

Нахождение радиуса окружности, вписанной в трапецию
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты. Обозначим высоту трапеции как $h$. Тогда $r = \frac{h}{2}$.Дана равнобокая трапеция с боковой стороной $c = 8$ см и острым углом при основании $\alpha = 45^\circ$.Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из катетов — высота трапеции $h$. Угол, противолежащий катету $h$, равен $\alpha$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$$h = c \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Нахождение радиуса шара
Теперь мы можем вычислить радиус шара $R$, используя найденное значение $r = 2\sqrt{2}$ см и данное по условию значение $OP = 2\sqrt{7}$ см.Подставим значения в формулу теоремы Пифагора:$R^2 = OP^2 + r^2$$R^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2$$R^2 = (4 \cdot 7) + (4 \cdot 2) = 28 + 8 = 36$$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: $6$ см.