Номер 198, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а диагональ основания образует с одной из сторон основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

198. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а диагональ основания образует с одной из сторон основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если радиус описанного около него шара равен $R$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда $D$ является диаметром описанного около него шара, следовательно, ее длина равна $D = 2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, высотой $c$ и диагональю основания $d$. Угол между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания (то есть ее проекцией $d$) по условию равен $\alpha$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:
Высота $c = D \sin{\alpha} = 2R \sin{\alpha}$
Диагональ основания $d = D \cos{\alpha} = 2R \cos{\alpha}$

Теперь рассмотрим прямоугольное основание со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$. По условию, диагональ основания $d$ образует с одной из сторон основания (пусть это будет сторона $a$) угол $\beta$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике, лежащем в основании, находим стороны $a$ и $b$ :
$a = d \cos{\beta} = (2R \cos{\alpha}) \cos{\beta} = 2R \cos{\alpha} \cos{\beta}$
$b = d \sin{\beta} = (2R \cos{\alpha}) \sin{\beta} = 2R \cos{\alpha} \sin{\beta}$

Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $c$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2R \cos{\alpha} \cos{\beta} + 2R \cos{\alpha} \sin{\beta})(2R \sin{\alpha})$
Вынесем общие множители за скобки и преобразуем выражение:
$S_{бок} = 2 \cdot 2R \cos{\alpha} (\cos{\beta} + \sin{\beta}) \cdot 2R \sin{\alpha}$
$S_{бок} = 8R^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} (\sin{\beta} + \cos{\beta})$
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, чтобы упростить выражение:
$S_{бок} = 4R^2 \cdot (2\sin{\alpha} \cos{\alpha}) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$
$S_{бок} = 4R^2 \sin(2\alpha) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$

Ответ: $4R^2 \sin(2\alpha) (\sin{\beta} + \cos{\beta})$.