Номер 203, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Угол между боковым ребром и высотой правильной треугольной пирамиды равен $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 6 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Угол между боковым ребром и высотой правильной треугольной пирамиды равен $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 6 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S и основанием ABC. SO — высота пирамиды, равная $H$, где O — центр правильного треугольника ABC, являющийся центром его описанной окружности. Сторона основания равна $a$, боковое ребро равно $l$ (например, $l=SA$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет AO является радиусом окружности, описанной около основания, обозначим его $R_{осн}$. Катет SO — это высота пирамиды $H$. Гипотенуза SA — боковое ребро $l$.

По условию, угол между боковым ребром и высотой равен $45^\circ$, то есть $\angle ASO = 45^\circ$. Так как треугольник ASO прямоугольный, то второй острый угол $\angle SAO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник ASO является равнобедренным, и его катеты равны: $SO = AO$.Следовательно, высота пирамиды равна радиусу описанной окружности основания: $H = R_{осн}$.

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды ($R_{сф}$), можно найти по формуле, связывающей его с высотой пирамиды $H$ и радиусом описанной окружности основания $R_{осн}$:$$ R_{сф} = \frac{R_{осн}^2 + H^2}{2H} $$Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $H = R_{осн}$:$$ R_{сф} = \frac{R_{осн}^2 + R_{осн}^2}{2R_{осн}} = \frac{2R_{осн}^2}{2R_{осн}} = R_{осн} $$

Из условия задачи известно, что радиус описанной сферы $R_{сф} = 6$ см. Таким образом, радиус окружности, описанной около основания пирамиды, также равен 6 см:$R_{осн} = 6$ см.

Радиус окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, выражается формулой:$$ R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} $$Отсюда мы можем выразить сторону основания $a$:$$ a = R_{осн} \cdot \sqrt{3} $$Подставим известное значение $R_{осн}$:$$ a = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} $$

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.