Номер 209, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $5$ см.

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен 5 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $H$ — ее высота.

По условию, в прямую призму вписан шар. Это возможно только в том случае, если в основание призмы (в данном случае, в равнобокую трапецию) можно вписать окружность, и высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара. При этом радиус окружности, вписанной в основание ($r_{окр}$), равен радиусу шара ($R_{шара}$).

Из условия известно, что радиус вписанного шара $R_{шара} = 5 \text{ см}$.

Найдем высоту призмы $H$. Она равна диаметру вписанного шара:$H = 2 \cdot R_{шара} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим основание призмы — равнобокую трапецию. Высота этой трапеции $h_{трап}$ равна диаметру вписанной в нее окружности:$h_{трап} = 2 \cdot r_{окр} = 2 \cdot R_{шара} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Один из углов трапеции равен $30^\circ$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, значит, острый угол трапеции составляет $30^\circ$. Проведем в трапеции высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции ($c$), а одним из катетов — ее высота ($h_{трап}$). Этот катет лежит напротив угла в $30^\circ$.Из свойств прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно:$c = 2 \cdot h_{трап}$ или $c = \frac{h_{трап}}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20 \text{ см}$.

По свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает:$a + b = c + c = 2c$.$a + b = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}$.

Периметр основания $P_{осн}$ равен сумме длин всех сторон трапеции:$P_{осн} = (a + b) + (c + c) = 40 + 40 = 80 \text{ см}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 80 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 800 \text{ см}^2$.

Ответ: $800 \text{ см}^2$.