Номер 212, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $48\sqrt{3}$ см, а высота — 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

212. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $48\sqrt{3}$ см, а высота — 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Высота пирамиды $SO=H=18$ см, где $O$ — центр основания. Сторона основания $a = 48\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса вписанной сферы ($r$) рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина стороны основания $AC$. Сечением является прямоугольный треугольник $\triangle SOM$.

В этом треугольнике катет $SO$ равен высоте пирамиды $H = 18$ см. Катет $OM$ является радиусом окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$). Так как основание — правильный треугольник, радиус вписанной в него окружности находится по формуле:$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Подставим значение стороны $a$:$OM = r_{осн} = \frac{48\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 24$ см.

Гипотенуза $SM$ является апофемой пирамиды ($h_a$). Найдем ее длину по теореме Пифагора в $\triangle SOM$:$SM^2 = SO^2 + OM^2$$SM^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$$SM = \sqrt{900} = 30$ см.

Центр вписанной сферы (точка $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$. Сфера касается плоскости основания в точке $O$, поэтому расстояние от ее центра до основания равно радиусу: $IO = r$. Сфера также касается боковых граней, поэтому расстояние от ее центра до любой боковой грани также равно $r$. В нашем сечении расстояние от точки $I$ до апофемы $SM$ (которая лежит в боковой грани) равно $r$. Проведем перпендикуляр $IP$ из точки $I$ к $SM$, тогда $IP = r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOM$ и $\triangle SIP$. Они подобны, так как имеют общий острый угол $\angle OSM$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{IP}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Длина отрезка $SI$ равна разности высоты пирамиды и радиуса сферы: $SI = SO - IO = H - r = 18 - r$. Подставим все известные значения в пропорцию:$\frac{r}{24} = \frac{18 - r}{30}$

Решим полученное уравнение:$30 \cdot r = 24 \cdot (18 - r)$$30r = 432 - 24r$$30r + 24r = 432$$54r = 432$$r = \frac{432}{54} = 8$

Ответ: 8 см.