Страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

205. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Сторона нижнего основания $a_1 = 12$ см, сторона верхнего основания $a_2 = 8$ см, боковое ребро $l = 6\sqrt{2}$ см.Основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды являются квадраты.

Центр сферы, описанной около правильной усечённой пирамиды, лежит на её оси (высоте, проходящей через центры оснований). Все вершины пирамиды лежат на поверхности этой сферы.Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, вершины которой являются вершинами пирамиды и, следовательно, лежат на описанной сфере. Окружность, описанная около этой трапеции, является большой окружностью описанной сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Найдём размеры этой трапеции.Основаниями трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.Длина диагонали нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.Длина диагонали верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.Боковые стороны трапеции равны боковым рёбрам пирамиды, то есть $l = 6\sqrt{2}$ см.

Найдём высоту усечённой пирамиды $H$, которая также является высотой этой трапеции. Проведём высоты из вершин меньшего основания трапеции на большее. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию. Оставшиеся части большего основания будут равны. Длина каждого из этих отрезков равна:$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Высоту $H$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной трапеции $l$, высотой $H$ и отрезком $x$:$H^2 = l^2 - x^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 2) - (4 \cdot 2) = 72 - 8 = 64$ см$^2$.$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около этой равнобедренной трапеции. Введём систему координат. Пусть ось симметрии трапеции совпадает с осью $Oy$, а центр нижнего основания (середины $d_1$) находится в начале координат $(0, 0)$.Тогда координаты вершин трапеции будут:Вершины нижнего основания: $A(-\frac{d_1}{2}, 0) = (-6\sqrt{2}, 0)$ и $C(\frac{d_1}{2}, 0) = (6\sqrt{2}, 0)$.Вершины верхнего основания: $A_1(-\frac{d_2}{2}, H) = (-4\sqrt{2}, 8)$ и $C_1(\frac{d_2}{2}, H) = (4\sqrt{2}, 8)$.

Центр описанной окружности $O$ лежит на оси симметрии $Oy$, поэтому его координаты $(0, y)$. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$. Приравняем квадраты расстояний от центра $O$ до вершин $C$ и $C_1$:$R^2 = OC^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - y)^2 = (6\sqrt{2})^2 + y^2 = 72 + y^2$.$R^2 = OC_1^2 = (4\sqrt{2} - 0)^2 + (8 - y)^2 = (4\sqrt{2})^2 + (8-y)^2 = 32 + 64 - 16y + y^2 = 96 - 16y + y^2$.

Приравняем правые части уравнений:$72 + y^2 = 96 - 16y + y^2$$72 = 96 - 16y$$16y = 96 - 72$$16y = 24$$y = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдём квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $y$ в первое уравнение:$R^2 = 72 + y^2 = 72 + (\frac{3}{2})^2 = 72 + \frac{9}{4} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{288 + 9}{4} = \frac{297}{4}$.

Следовательно, радиус $R$ равен:$R = \sqrt{\frac{297}{4}} = \frac{\sqrt{297}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 33}}{2} = \frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

206. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную призму, сторона основания которой равна 14 см.

206. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную призму, сторона основания которой равна 14 см.

Пусть $R$ — радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную призму, и $a$ — сторона основания этой призмы.

Шар, вписанный в призму, касается её верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней. Это означает, что центр шара равноудален от всех граней призмы.

Рассмотрим горизонтальное сечение призмы и шара, проходящее через центр шара. В сечении мы получим окружность (большой круг шара), вписанную в правильный шестиугольник (основание призмы). Радиус этой окружности равен радиусу вписанного шара $R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, можно найти по формуле:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, радиус вписанного шара $R$ также равен этой величине:
$R = r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

По условию задачи, сторона основания призмы равна $a = 14$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения радиуса:
$R = \frac{14 \cdot \sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см.

Для того чтобы шар можно было вписать в призму, её высота должна быть равна диаметру шара, то есть $H = 2R = 14\sqrt{3}$ см. Условие задачи подразумевает, что призма удовлетворяет этому требованию.

Ответ: $7\sqrt{3}$ см.

207. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 30°. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

207. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом $30^\circ$. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

Пусть $R$ — радиус вписанного в призму шара. Шар можно вписать в прямую призму тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который является основанием.

Найдем стороны треугольника в основании. Обозначим катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, гипотенуза $c = 8$ см, а один из острых углов равен $30^{\circ}$.
Катет $a$, противолежащий углу $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы:
$a = c \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Второй катет $b$ найдем, используя косинус того же угла или теорему Пифагора. Используем косинус:
$b = c \cdot \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2}$
Подставим известные значения сторон треугольника в формулу:
$r = \frac{4 + 4\sqrt{3} - 8}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 4}{2} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

Поскольку радиус вписанного шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание, то:
$R = r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

Ответ: $2(\sqrt{3} - 1)$ см.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $8 \text{ см}^2$.

208. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна $8 \text{ см}^2$.

Пусть $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности призмы, $S_{осн}$ — площадь основания, $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

По условию, в прямую призму вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований призмы и всех её боковых граней.

1. Если шар касается обоих оснований (верхнего и нижнего), то высота призмы $H$ равна диаметру шара $2R$, где $R$ — радиус шара. Таким образом, $H = 2R$.

2. Если шар касается всех боковых граней, то в многоугольник, являющийся основанием призмы, можно вписать окружность. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу шара $R$. Таким образом, $r = R$.

Из этих двух условий следует, что высота призмы связана с радиусом вписанной в основание окружности соотношением $H = 2r$.

Подставим это выражение для высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = P_{осн} \cdot 2r$

Площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, можно найти по формуле:

$S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания ($p = \frac{P_{осн}}{2}$), а $r$ — радиус вписанной окружности.

Перепишем формулу площади основания через полный периметр:

$S_{осн} = \frac{P_{осн}}{2} \cdot r$

Из этой формулы выразим произведение $P_{осн} \cdot r$:

$P_{осн} \cdot r = 2 \cdot S_{осн}$

Теперь вернёмся к формуле для площади боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot 2r$ и преобразуем её:

$S_{бок} = 2 \cdot (P_{осн} \cdot r)$

Подставим в неё полученное ранее выражение для $P_{осн} \cdot r$:

$S_{бок} = 2 \cdot (2 \cdot S_{осн}) = 4 \cdot S_{осн}$

По условию задачи площадь основания $S_{осн} = 8 \text{ см}^2$. Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$

Ответ: 32 см².

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен $5$ см.

209. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, один из углов которой равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус вписанного в неё шара равен 5 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $H$ — ее высота.

По условию, в прямую призму вписан шар. Это возможно только в том случае, если в основание призмы (в данном случае, в равнобокую трапецию) можно вписать окружность, и высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара. При этом радиус окружности, вписанной в основание ($r_{окр}$), равен радиусу шара ($R_{шара}$).

Из условия известно, что радиус вписанного шара $R_{шара} = 5 \text{ см}$.

Найдем высоту призмы $H$. Она равна диаметру вписанного шара:$H = 2 \cdot R_{шара} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим основание призмы — равнобокую трапецию. Высота этой трапеции $h_{трап}$ равна диаметру вписанной в нее окружности:$h_{трап} = 2 \cdot r_{окр} = 2 \cdot R_{шара} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Один из углов трапеции равен $30^\circ$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, значит, острый угол трапеции составляет $30^\circ$. Проведем в трапеции высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции ($c$), а одним из катетов — ее высота ($h_{трап}$). Этот катет лежит напротив угла в $30^\circ$.Из свойств прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно:$c = 2 \cdot h_{трап}$ или $c = \frac{h_{трап}}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20 \text{ см}$.

По свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает:$a + b = c + c = 2c$.$a + b = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}$.

Периметр основания $P_{осн}$ равен сумме длин всех сторон трапеции:$P_{осн} = (a + b) + (c + c) = 40 + 40 = 80 \text{ см}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 80 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 800 \text{ см}^2$.

Ответ: $800 \text{ см}^2$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Основанием является правильный треугольник со стороной $a$. Пусть SO – высота пирамиды, где O – центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его $O_с$, лежит на высоте SO. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $O_с$ до любой грани пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO и апофему боковой грани SM (где M – середина ребра основания BC). Это сечение – прямоугольный треугольник SOM, так как высота пирамиды перпендикулярна её основанию ($SO \perp$ плоскости ABC, а значит, и $SO \perp OM$).

Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания BC, так как $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$. По условию задачи, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $O_с$ равноудален от всех граней. В частности, он равноудален от плоскости основания ABC и от плоскости боковой грани SBC. В рассматриваемом сечении это означает, что точка $O_с$ равноудалена от прямых OM и SM, следовательно, она лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Таким образом, луч $MO_с$ является биссектрисой, и $\angle O_сMO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_сOM$ ($\angle O_сOM = 90^\circ$). Катет $O_сO$ – это радиус вписанного шара $r$. Катет OM – это радиус окружности, вписанной в треугольник основания ABC. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\text{tg}(\angle O_сMO) = \frac{O_сO}{OM}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{OM}$

Отсюда выражаем радиус шара: $r = OM \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь вычислим длину OM. OM – это радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Его длина вычисляется по формуле:

$OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим найденное значение OM в формулу для радиуса $r$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

211. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $alpha$, а радиус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

211. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус шара, вписанного в неё, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В основании лежит квадрат, а вершина проецируется в центр основания. Обозначим сторону основания как $a$, а апофему (высоту боковой грани) как $h_s$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ такой пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s = \frac{1}{2} (4a) h_s = 2 a h_s$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Проведём сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $SO$ и апофему $SM$, где $M$ — середина стороны основания. В сечении получим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle O = 90^\circ$), где $OM$ — радиус вписанной в основание окружности (для квадрата $OM = a/2$), $SO$ — высота пирамиды, $SM=h_s$ — апофема. Угол $\angle SMO$ в этом треугольнике и есть линейный угол двугранного угла при ребре основания. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

В пирамиду вписан шар радиуса $r$. Центр вписанного шара, точка $I$, лежит на высоте пирамиды $SO$. Шар касается плоскости основания в точке $O$, поэтому расстояние от центра шара до основания равно радиусу, то есть $IO = r$. Также центр вписанного шара равноудалён от всех граней пирамиды. Это значит, что он лежит на биссекторных плоскостях двугранных углов.

Рассмотрим треугольник сечения $SOM$. Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$. Так как точка $I$ равноудалена от сторон угла $\angle SMO$ (отрезков $OM$ и $SM$), она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $MI$ — биссектриса угла $\angle SMO$, и $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ с прямым углом при вершине $O$. В нём известен катет $IO = r$ и угол $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$. Мы можем найти второй катет $OM$:$\mathrm{ctg}(\angle IMO) = \frac{OM}{IO} \implies OM = IO \cdot \mathrm{ctg}(\angle IMO) = r \cdot \mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})$.

Так как для квадрата в основании $OM = \frac{a}{2}$, то сторона основания равна:$a = 2 \cdot OM = 2r \cdot \mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь вернёмся к треугольнику $SOM$ и найдём апофему $h_s = SM$.$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} \implies \cos(\alpha) = \frac{OM}{h_s}$.Отсюда выразим апофему:$h_s = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{r \cdot \mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности пирамиды, подставив найденные выражения для $a$ и $h_s$ в формулу $S_{бок} = 2 a h_s$:$S_{бок} = 2 \cdot \left(2r \cdot \mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(\frac{r \cdot \mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{4r^2 \mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{4r^2 \mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$

212. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $48\sqrt{3}$ см, а высота — 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

212. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $48\sqrt{3}$ см, а высота — 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Высота пирамиды $SO=H=18$ см, где $O$ — центр основания. Сторона основания $a = 48\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса вписанной сферы ($r$) рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина стороны основания $AC$. Сечением является прямоугольный треугольник $\triangle SOM$.

В этом треугольнике катет $SO$ равен высоте пирамиды $H = 18$ см. Катет $OM$ является радиусом окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$). Так как основание — правильный треугольник, радиус вписанной в него окружности находится по формуле:$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Подставим значение стороны $a$:$OM = r_{осн} = \frac{48\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 24$ см.

Гипотенуза $SM$ является апофемой пирамиды ($h_a$). Найдем ее длину по теореме Пифагора в $\triangle SOM$:$SM^2 = SO^2 + OM^2$$SM^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$$SM = \sqrt{900} = 30$ см.

Центр вписанной сферы (точка $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$. Сфера касается плоскости основания в точке $O$, поэтому расстояние от ее центра до основания равно радиусу: $IO = r$. Сфера также касается боковых граней, поэтому расстояние от ее центра до любой боковой грани также равно $r$. В нашем сечении расстояние от точки $I$ до апофемы $SM$ (которая лежит в боковой грани) равно $r$. Проведем перпендикуляр $IP$ из точки $I$ к $SM$, тогда $IP = r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOM$ и $\triangle SIP$. Они подобны, так как имеют общий острый угол $\angle OSM$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{IP}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Длина отрезка $SI$ равна разности высоты пирамиды и радиуса сферы: $SI = SO - IO = H - r = 18 - r$. Подставим все известные значения в пропорцию:$\frac{r}{24} = \frac{18 - r}{30}$

Решим полученное уравнение:$30 \cdot r = 24 \cdot (18 - r)$$30r = 432 - 24r$$30r + 24r = 432$$54r = 432$$r = \frac{432}{54} = 8$

Ответ: 8 см.

213. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите сторону основания пирамиды.

213. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть $a$ – сторона ромба, являющегося основанием пирамиды. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ромб. Обозначим высоту пирамиды как $H$, а радиус вписанной в основание окружности как $r_{осн}$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и апофему боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Угол между апофемой и радиусом $r_{осн}$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $\beta$.

Центр вписанного в пирамиду шара лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара $r$. Также центр вписанного шара лежит в биссекторной плоскости любого двугранного угла. В рассматриваемом нами сечении след этой биссекторной плоскости является биссектрисой угла $\beta$.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$, отрезком высоты пирамиды, равным радиусу вписанного шара $r$, и частью биссектрисы угла $\beta$. В этом треугольнике тангенс угла $\frac{\beta}{2}$ равен отношению противолежащего катета $r$ к прилежащему $r_{осн}$:

$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус вписанной в основание окружности:

$r_{осн} = \frac{r}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)} = r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Теперь свяжем радиус вписанной в ромб окружности с его стороной $a$ и углом $\alpha$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана со стороной и углом соотношением $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:

$r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Приравнивая два полученных выражения для $r_{осн}$, получаем уравнение для нахождения стороны основания $a$:

$\frac{a \sin(\alpha)}{2} = r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Выразим $a$ из этого уравнения:

$a = \frac{2r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $a = \frac{2r \cot(\frac{\beta}{2})}{\sin(\alpha)}$

214. В правильную шестиугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

214. В правильную шестиугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры большего и меньшего оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Поскольку в усеченную пирамиду вписан шар, ее высота $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$. Боковые стороны этой трапеции равны апофеме $h_a$ усеченной пирамиды, основания равны апофемам (радиусам вписанных окружностей) оснований пирамиды, которые мы обозначим как $r_1$ и $r_2$. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H=2R$. Угол при большем основании этой трапеции равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть $60^{\circ}$.

1. Нахождение апофемы $h_a$.

В равнобедренной трапеции (осевом сечении) проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это апофема $h_a$;
• противолежащий катет — это высота пирамиды $H=2R$;
• острый угол равен $60^{\circ}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(60^{\circ}) = \frac{H}{h_a} = \frac{2R}{h_a}$

Отсюда выразим апофему $h_a$: $h_a = \frac{2R}{\sin(60^{\circ})} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение суммы периметров оснований.

Так как в трапецию (осевое сечение) вписана окружность, суммы ее противоположных сторон равны. Сумма оснований трапеции (апофем оснований пирамиды) равна сумме ее боковых сторон (апофем пирамиды): $r_1 + r_2 = h_a + h_a = 2h_a$. Но это неверно. Сумма оснований трапеции равна $r_1+r_1$ и $r_2+r_2$ (диаметры), а мы взяли сечение через середины сторон, так что основания трапеции равны $2r_1$ и $2r_2$. Тогда $2r_1 + 2r_2 = h_a + h_a = 2h_a$, откуда $r_1 + r_2 = h_a$.

Подставим найденное значение $h_a$: $r_1 + r_2 = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Основания пирамиды — правильные шестиугольники. Сторона правильного шестиугольника $a$ связана с радиусом вписанной в него окружности $r$ соотношением $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, откуда $a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Периметр правильного шестиугольника $P = 6a$. Тогда: $P_1 = 6a_1 = 6 \cdot \frac{2r_1}{\sqrt{3}} = \frac{12r_1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}r_1$
$P_2 = 6a_2 = 6 \cdot \frac{2r_2}{\sqrt{3}} = \frac{12r_2}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}r_2$

Сумма периметров: $P_1 + P_2 = 4\sqrt{3}r_1 + 4\sqrt{3}r_2 = 4\sqrt{3}(r_1 + r_2)$

Подставим сюда $r_1 + r_2 = h_a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$: $P_1 + P_2 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 16R$

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 16R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 8R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{32R^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S_{бок} = \frac{32R^2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}R^2$